Giải bài tập SGK Giải tích 12 nâng cao: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 27. Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: $overline z $; $ – z$; $frac{1}{z}$; $Kz$ $left( {K in {R^*}} right)$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $z = r(cos varphi + isin varphi )$ $(r > 0).$
b) $z = 1 + isqrt 3 .$

Lời giải:
a) Ta có:
$overline z = r(cos varphi – isin varphi ).$
$ – z = – r(cos varphi + isin varphi )$ $ = r(cos (varphi + pi ) + isin (varphi + pi )).$
$frac{1}{z} = frac{1}{{r(cos varphi – isin varphi )}}$ $ = frac{{cos varphi + isin varphi }}{r}$ $ = frac{1}{r}(cos varphi + isin varphi ).$
$Kz$ là một số phức có môđun là $|Kz| = |K|.|z| = |K|.r.$, có acgumen là $varphi $ nếu $K > 0$, là $varphi + pi $ nếu $K < 0.$
Vậy $Kz = |K|.r(cos varphi + isin varphi )$ nếu $K> 0.$
$Kz = |K|.r(cos (varphi + pi ) + isin (varphi + pi ))$ nếu $K > 0.$
b) Khi $z = 1 + isqrt 3 $ $ Leftrightarrow z = 2left( {frac{1}{2} + ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = 2left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right).$
Nên:
$bar z = 2left( {cos frac{pi }{3} – isin frac{pi }{3}} right).$
$ – z = – 2left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right)$ $ = 2left( {cos frac{{4pi }}{3} + isin frac{{4pi }}{3}} right).$
$frac{1}{z} = frac{1}{2}left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right).$
$Kz = left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{2|K|left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right)}&{{rm{với}},,k > 0}\
{2|K|left( {cos frac{{4pi }}{3} + isin frac{{4pi }}{3}} right)}&{{rm{với}},,k < 0}
end{array}} right..$

Bài 28. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) $1 – isqrt 3 $; $1 + i$; $(1 – isqrt 3 )(1 + i)$; $frac{{1 – isqrt 3 }}{{1 + i}}.$
b) $2i(sqrt 3 – i).$
c) $frac{1}{{2 + 2i}}.$
d) $z = sin varphi + icos varphi $ $(varphi in R).$

Lời giải:
a) $z = 1 – isqrt 3 $ $ = 2left( {frac{1}{2} – ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = 2left( {cos frac{pi }{3} – isin frac{pi }{3}} right)$ $ = 2left( {cos frac{{ – pi }}{3} + isin frac{{ – pi }}{3}} right).$
$z’ = 1 + i$ $ = sqrt 2 left( {frac{{sqrt 2 }}{2} + ifrac{{sqrt 2 }}{2}} right)$ $ = sqrt 2 left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right).$
$(1 – isqrt 3 )(1 + i) = z.z’.$
Mà: $z = 2left( {cos frac{pi }{3} – isin frac{pi }{3}} right)$ $ = 2left( {cos left( { – frac{pi }{3}} right) + isin left( { – frac{pi }{3}} right)} right).$
$z’ = sqrt 2 left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right).$
Nên $z.z’$ $ = 2sqrt 2 left( {cos left( {frac{pi }{4} – frac{pi }{3}} right) + isin left( {frac{pi }{4} – frac{pi }{3}} right)} right)$ $ = 2sqrt 2 left( {cos frac{{ – pi }}{{12}} + isin left( { – frac{pi }{{12}}} right)} right).$
$frac{{1 – isqrt 3 }}{{1 + i}}$ $ = frac{z}{{z’}}$ $ = frac{2}{{sqrt 2 }}left( {cos left( { – frac{pi }{3} – frac{pi }{4}} right) + isin left( { – frac{pi }{3} – frac{pi }{4}} right)} right).$
$ = sqrt 2 left[ {cos left( {frac{{ – 7pi }}{{12}}} right) + isin left( {frac{{ – 7pi }}{{12}}} right)} right].$
b) $2i(sqrt 3 – i)$ $ = 2left( {isqrt 3 – {i^2}} right)$ $ = 2(1 + isqrt 3 )$ $ = 4left( {frac{1}{2} + i.frac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = 4left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right).$
c) $frac{1}{{2 + 2i}}$ $ = frac{{2 – 2i}}{8}$ $ = frac{1}{4}(1 – i)$ $ = frac{{sqrt 2 }}{4}left( {frac{{sqrt 2 }}{2} – i.frac{{sqrt 2 }}{2}} right).$
$ = frac{{sqrt 2 }}{4}left( {cos frac{pi }{4} – isin frac{pi }{4}} right)$ $ = frac{{sqrt 2 }}{4}left[ {cos left( {frac{{ – pi }}{4}} right) + isin left( {frac{{ – pi }}{4}} right)} right].$
d) $z = sin varphi + icos varphi $ $ = cos left( {frac{pi }{2} – varphi } right) + isin left( {frac{pi }{2} – varphi } right).$

Bài 29. Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ${(1 + i)^{19}}$ và công thức Moa-vrơ để tính: $C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – ldots ldots + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}.$

Lời giải:
Theo nhị thức Niutơn ta có:
${(1 + i)^{19}}$ $ = C_{19}^0 + iC_{19}^1$ $ + {i^2}C_{19}^2 + {i^3}C_{19}^3$ $ + ldots + {i^{18}}C_{19}^{18} + {i^{19}}C_{19}^{19}.$
$ = left( {C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – C_{19}^6 + ldots – C_{19}^{18}} right)$ $ + ileft( {C_{19}^1 – C_{19}^3 + ldots – C_{19}^{19}} right).$
Mặt khác ta có $1 + i$ $ = sqrt 2 left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right).$
Nên theo công thức Moa-vrơ ta có:
${(1 + i)^{19}}$ $ = {left[ {sqrt 2 left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right)} right]^{19}}$ $ = {(sqrt 2 )^{19}}.left( {cos frac{{19pi }}{4} + isin frac{{19pi }}{4}} right).$
$ = {(sqrt 2 )^{19}}.left( {cos frac{{3pi }}{4} + isin frac{{3pi }}{4}} right)$ $ = {(sqrt 2 )^{19}}left( {frac{{ – sqrt 2 }}{2} + ifrac{{sqrt 2 }}{2}} right).$
$ = – frac{{{{(sqrt 2 )}^{20}}}}{2} + ifrac{{{{(sqrt 2 )}^{20}}}}{2}$ $ = – {2^9} + i{.2^9}.$
Vậy $C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – ldots + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}$ $ = – {2^9} = – 512.$

Bài 30. Gọi $M$, $M’$ là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số $z = 3 + i$, $z’ = (3 – sqrt 3 ) + (1 + 3sqrt 3 )i.$
a) Tính $frac{{z’}}{z}.$
b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của $z’$ với acgumen của $z$ là một số đo của góc lượng giác $(OM;OM’).$ Tính số đo đó.

Lời giải:
Ta có: $frac{{z’}}{z}$ $ = frac{{(3 – sqrt 3 ) + (1 + 3sqrt 3 )i}}{{3 + i}}$ $ = frac{{[(3 – sqrt 3 ) + (1 + 3sqrt 3 )i](3 – i)}}{{(3 + i)(3 – i)}}.$
$ = frac{{10 + 10sqrt 3 i}}{{10}}$ $ = 1 + sqrt 3 i.$
b) Ta có: $M = (3;1)$, $M’ = (3 – sqrt 3 ;1 + 3sqrt 3 ).$
$ Rightarrow overrightarrow {OM} = (3;1)$, $overrightarrow {OM’} = (3 – sqrt 3 ;1 + 3sqrt 3 ).$
$ Rightarrow cos left( {OM,OM’} right)$ $ = cos left( {overrightarrow {OM} ,overrightarrow {OM’} } right)$ $ = frac{{overrightarrow {OM} .overrightarrow {OM’} }}{{|overrightarrow {OM} |.|overrightarrow {OM’} |}} = frac{1}{2}$ $(1).$
Mặt khác: $frac{{z’}}{z}$ $ = frac{{left| {z’} right|}}{z}left[ {cos left( {varphi ‘ – varphi } right) + isin left( {varphi ‘ – varphi } right)} right].$
$ = frac{{sqrt {40} }}{{sqrt {10} }}left[ {cos left( {varphi ‘ – varphi } right) + isin left( {varphi ‘ – varphi } right)} right]$ $ = 2cos left( {varphi ‘ – varphi } right) + 2isin left( {varphi ‘ – varphi } right).$
Theo câu a, ta có $frac{{z’}}{z} = 1 + sqrt 3 i$, suy ra $2.cos left( {varphi ‘ – varphi } right) = 1.$
$ Rightarrow cos left( {varphi ‘ – varphi } right) = frac{1}{2}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có: $cos left( {varphi ‘ – varphi } right) = cos left( {OM,OM’} right)$ nên hiệu $varphi ‘ – varphi $ là một số đo của góc lượng giác $left( {OM,OM’} right)$ và số đo đó là: $varphi ‘ – varphi = frac{pi }{3} + k2pi .$

Bài 31. Cho các số phức $w = frac{{sqrt 2 }}{2}(1 + i)$ và $varepsilon = frac{1}{2}( – 1 + isqrt 3 ).$
a) Chứng minh rằng ${z_0} = cos frac{pi }{{12}} + isin frac{pi }{{12}}$, ${z_1} = {z_0}varepsilon $, ${z_2} = {z_0}{varepsilon ^2}$ là các nghiệm của phương trình ${z^3} – w = 0.$
b) Biểu diễn hình học các số phức ${z_0}$, ${z_1}$, ${z_2}.$

Lời giải:
a) Ta có ${z_0} = cos frac{pi }{{12}} + isin frac{pi }{{12}}$ $ Rightarrow z_0^3 = cos frac{{3pi }}{{12}} + isin frac{{3pi }}{{12}}$ $ = cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}.$
Vậy $z_0^3 – w = 0$ hay ${z_0}$ là một nghiệm của phương trình: ${z^3} – w = 0.$
Ta lại có: $varepsilon = frac{1}{2}( – 1 + isqrt 3 )$ $ = – frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i$ $ = cos left( {frac{{2pi }}{3}} right) + isin left( {frac{{2pi }}{3}} right).$
Nên ${z_1} = {z_0}.varepsilon $ $ = cos left( {frac{pi }{{12}} + frac{{2pi }}{3}} right) + isin left( {frac{pi }{{12}} + frac{{2pi }}{3}} right)$ $ = cos frac{{3pi }}{4} + isin frac{{3pi }}{4}.$
$ Rightarrow z_1^3 = cos left( {frac{{9pi }}{4}} right) + isin left( {frac{{9pi }}{4}} right)$ $ = cos left( {2pi + frac{pi }{4}} right) + isin left( {2pi + frac{pi }{4}} right).$
$ = cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}$ $ = frac{{sqrt 2 }}{2}(1 + i) = w.$
Vậy $z_1^3 – w = 0$, hay ${z_1}$ là một nghiệm của phương trình ${z^3} – w = 0.$
Ta có: ${z_2} = {z_0}.{varepsilon ^2}$ $ = cos left( {frac{pi }{{12}} + frac{{4pi }}{3}} right) + isin left( {frac{pi }{{12}} + frac{{4pi }}{3}} right)$ $ = cos left( {frac{{17pi }}{{12}}} right) + isin left( {frac{{17pi }}{2}} right).$
$ Rightarrow z_2^3 = cos left( {frac{{17pi }}{4}} right) + isin left( {frac{{17pi }}{4}} right)$ $ = cos left( {4pi + frac{pi }{4}} right) + isin left( {4pi + frac{pi }{4}} right)$ $ = cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}.$
Vậy $z_2^3 = frac{{sqrt 2 }}{2}(1 + i) = w$ hay $z_2^3 – w = 0.$
Vậy ${z_2}$ cũng là một nghiệm của phương trình ${z^3} – w = 0.$
b) Các điểm $A$, $B$, $C$ lần lượt biểu diễn các số:
${z_0} = cos frac{pi }{{12}} + isin frac{pi }{{12}}$, ${z_1} = cos frac{{3pi }}{4} + isin frac{{3pi }}{4}$, ${z_2} = cos frac{{17pi }}{{12}} + isin frac{{17pi }}{{12}}.$
Nhận xét: ba điểm $A$, $B$, $C$ tạo thành một tam giác đều.

LUYỆN TẬP

Bài 32. Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính $sin 4varphi $ và $cos 4varphi $ theo các lũy thừa $sin varphi $ và $cos varphi .$

Lời giải:
Theo công thức Moa-vrơ ta có:
${(cos varphi + isin varphi )^4}$ $ = cos 4varphi + isin 4varphi .$
$ Leftrightarrow left( {{{cos }^4}varphi – 6{{sin }^2}varphi {{cos }^2}varphi + {{sin }^4}varphi } right)$ $ + 4left( {{{cos }^3}varphi sin varphi – {{sin }^3}varphi cos varphi } right)i$ $ = cos 4varphi + isin 4varphi .$
$ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{cos 4varphi = {{cos }^4}varphi – 6{{sin }^2}varphi {{cos }^2}varphi + {{sin }^4}varphi }\
{sin 4varphi = 4left( {{{cos }^3}varphi sin varphi – {{sin }^3}varphi cos varphi } right)}
end{array}} right..$

Bài 33. Tính: ${(sqrt 3 – i)^6}$; ${left( {frac{i}{{1 + i}}} right)^{2004}}$; ${left( {frac{{5 + 3isqrt 3 }}{{1 – 2isqrt 3 }}} right)^{21}}.$

Lời giải:
Ta có: $sqrt 3 – i$ $ = 2left( {frac{{sqrt 3 }}{2} – frac{1}{2}i} right)$ $ = 2left( {cos left( {frac{{ – pi }}{6}} right) + isin left( {frac{{ – pi }}{6}} right)} right).$
Nên ${(sqrt 3 – i)^6}$ $ = {2^6}left( {cos left( {frac{{ – 6pi }}{6}} right) + isin left( {frac{{ – 6pi }}{6}} right)} right)$ $ = 64(cos ( – pi ) + isin ( – pi ))$ $ = – 64.$
Ta có: $frac{i}{{1 + i}}$ $ = frac{{i(1 – i)}}{{(1 + i)(1 – i)}}$ $ = frac{{1 + i}}{2}$ $ = frac{1}{2}(1 + i)$ $ = frac{{sqrt 2 }}{2}left( {frac{{sqrt 2 }}{2} + ifrac{{sqrt 2 }}{2}} right).$
$ = frac{{sqrt 2 }}{2}left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right).$
Nên: ${left( {frac{i}{{1 + i}}} right)^{2004}}$ $ = {left( {frac{{sqrt 2 }}{2}} right)^{2004}}.left( {cos frac{{2004pi }}{4} + isin frac{{2004pi }}{4}} right).$
$ = {left( {frac{1}{{sqrt 2 }}} right)^{2004}}(cos (501pi + isin (501pi ))$ $ = frac{1}{{{2^{1002}}}}(cos pi + isin pi )$ $ = frac{{ – 1}}{{{2^{1002}}}}.$
$frac{{5 + 3isqrt 3 }}{{1 – 2isqrt 3 }}$ $ = frac{{(5 + 3isqrt 3 )(1 + 2isqrt 3 )}}{{(1 – 2isqrt 3 )(1 + 2isqrt 3 )}}$ $ = frac{{ – 13 + 13isqrt 3 }}{{13}}$ $ = – 1 + isqrt 3 .$
$ = 2left( { – frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i} right)$ $ = 2left( {cos frac{{2pi }}{3} + isin frac{{2pi }}{3}} right).$
Nên ${left( {frac{{5 + 3isqrt 3 }}{{1 – 2isqrt 3 }}} right)^{21}}$ $ = {2^{21}}(cos 14pi + isin 14pi )$ $ = {2^{21}}.$

Bài 34. Cho số phức $w = – frac{1}{2}(1 + isqrt 3 ).$ Tìm các số nguyên dương $n$ để ${w^n}$ là số thực. Hỏi có số nguyên dương $m$ nào để ${w^m}$ là số ảo?

Lời giải:
Ta có: $w = – frac{1}{2} – ifrac{{sqrt 3 }}{2}$ $ = cos left( {frac{{4pi }}{3}} right) + isin left( {frac{{4pi }}{3}} right).$
Nên ${w^n} = cos frac{{4npi }}{3} + isin frac{{4npi }}{3}.$
Để ${w^n}$ là số thực thì $sin frac{{4npi }}{3} = 0$ $ Leftrightarrow frac{{4npi }}{3} = kpi $ $ Leftrightarrow n = frac{{3k}}{4}.$
Để $n in {N^*}$ thì $k = 4t$ với $t in {N^*}.$ Khi đó $n = 3t$ với $t in {N^*}.$
Để ${w^m}$ là số ảo thì $cos frac{{4mpi }}{3} = 0$ $ Leftrightarrow frac{{4mpi }}{3} = frac{pi }{2} + kpi .$
$ Leftrightarrow 8m = 3 + 6k$ với $k in Z$, $m in {N^*}.$
Vì phương trình này vô nghiệm, nên không tồn tại $m$ để ${w^m}$ là số ảo.

Bài 35. Viết dạng lượng giác của số phức $z$ và của các căn bậc hai của $z$ cho mỗi trường hợp sau:
a) $|z| = 3$ và một acgumen của $iz$ là $frac{{5pi }}{4}.$
b) $|z| = frac{1}{3}$ và một acgumen của $frac{{overline z }}{{1 + i}}$ là $frac{{ – 3pi }}{4}.$

Lời giải:
Giả sử $z = r(cos varphi + isin varphi ).$
a) Vì $|z| = 3$ $ Rightarrow r = 3.$
Ta có $i = cos frac{pi }{2} + isin frac{pi }{2}$ nên $iz = 3left( {cos left( {varphi + frac{pi }{2}} right) + isin left( {varphi + frac{pi }{2}} right)} right).$
Theo bài ra ta có: $varphi + frac{pi }{2} = frac{{5pi }}{4}$ $ Rightarrow varphi = frac{{3pi }}{4}.$
Vậy $z = 3left( {cos frac{{3pi }}{4} + isin frac{{3pi }}{4}} right).$
$z$ có hai căn bậc hai là ${z_1} = sqrt 3 left( {cos frac{{3pi }}{8} + isin frac{{3pi }}{8}} right)$ và ${z_2} = – sqrt 3 left( {cos frac{{3pi }}{8} + isin frac{{3pi }}{8}} right)$ $ = sqrt 3 left( {cos frac{{11pi }}{8} + isin frac{{11pi }}{8}} right).$
b) Vì $|z| = frac{1}{3}$ $ Rightarrow r = frac{1}{3}.$
Ta có $1 + i$ $ = sqrt 2 left( {frac{{sqrt 2 }}{2} + ifrac{{sqrt 2 }}{2}} right)$ $ = sqrt 2 left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right).$
$overline z = frac{1}{3}(cos varphi – isin varphi )$ $ = frac{1}{3}[cos ( – varphi ) + isin ( – varphi )].$
Vậy $frac{{bar z}}{{1 + i}}$ $ = frac{1}{{3sqrt 2 }}left( {cos left( { – varphi – frac{pi }{4}} right) + isin left( { – varphi – frac{pi }{4}} right)} right).$
Theo bài ra ta có: $ – varphi – frac{pi }{4} = – frac{{3pi }}{4}$ $ Rightarrow varphi = frac{pi }{2}.$
Vậy $z = frac{1}{3}left( {cos frac{pi }{2} + isin frac{pi }{2}} right).$
$z$ có hai căn bậc hai là: ${z_1} = frac{1}{{sqrt 3 }}left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right)$ và ${z_2} = – frac{1}{{sqrt 3 }}left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right)$ $ = frac{1}{{sqrt 3 }}left( {cos frac{{5pi }}{4} + isin frac{{5pi }}{4}} right).$

Bài 36. Viết dưới dạng lượng giác các số phức:
a) $1 – itan frac{pi }{5}.$
b) $tan frac{{5pi }}{8} + i.$
c) $1 – cos varphi – isin varphi $ ($varphi in R$, $varphi ne k2pi $, $k in Z$).

Lời giải:
a) $z = 1 – itan frac{pi }{5}.$
$ = 1 – i.frac{{sin frac{pi }{5}}}{{cos frac{pi }{5}}}$ $ = frac{1}{{cos frac{pi }{5}}}left( {cos frac{pi }{5} – isin frac{pi }{5}} right)$ $ = frac{1}{{cos frac{pi }{5}}}left( {cos left( { – frac{pi }{5}} right) + isin left( { – frac{pi }{5}} right)} right).$
b) $z = tan frac{{5pi }}{8} + i.$
$ = frac{{sin frac{{5pi }}{8}}}{{cos frac{{5pi }}{8}}} + i$ $ = frac{1}{{cos frac{{5pi }}{8}}}left( {sin frac{{5pi }}{8} + icos frac{{5pi }}{8}} right)$ $ = frac{1}{{cos frac{{5pi }}{8}}}left[ {cos left( { – frac{pi }{4}} right) + isin left( { – frac{pi }{4}} right)} right].$
c) $z = (1 – cos varphi ) – isin varphi $ $ = 2{sin ^2}frac{varphi }{2} – i2sin frac{varphi }{2}cos frac{varphi }{2}.$
$ = 2sin frac{varphi }{2}left( {sin frac{varphi }{2} – icos frac{varphi }{2}} right)$ $ = 2sin frac{varphi }{2}left[ {cos left( {frac{{varphi – pi }}{2}} right) + isin left( {frac{{varphi – pi }}{2}} right)} right]$ (nếu $sin frac{varphi }{2} > 0$).
Hoặc $z = left( { – 2sin frac{varphi }{2}} right)left[ {cos left( {frac{{varphi + pi }}{2}} right) + isin left( {frac{{varphi + pi }}{2}} right)} right]$ (nếu ${sin frac{varphi }{2} < 0}$).

Be the first to comment

Leave a Reply