Giải bài tập SGK Giải tích 12 nâng cao: Hệ phương trình mũ và lôgarit

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Hệ phương trình mũ và lôgarit.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 72. Giải các hệ phương trình:
a) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 20}\
{{{log }_4}x + {{log }_4}y = 1 + {{log }_4}9}
end{array}} right..$
b) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 1}\
{{4^{ – 2x}} + {4^{ – 2y}} = 0,5}
end{array}} right..$

Lời giải:
a) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 20}\
{{{log }_4}x + {{log }_4}y = 1 + {{log }_4}9}
end{array}} right..$
Điều kiện: $x > 0$, $y > 0.$
Hệ phương trình tương đương với:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 20}\
{{{log }_4}xy = {{log }_4}36}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 20}\
{xy = 36}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 20 – y}\
{(20 – y)y = 36}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 20 – y}\
{{y^2} – 20y + 36 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 20 – y}\
{left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{y = 18}\
{y = 2}
end{array}} right.}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\
{y = 18}
end{array}} right.\
left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 18}\
{y = 2}
end{array}} right.
end{array} right..$
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: $S = { (2;18),(18;2)} .$
b) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 1}\
{{4^{ – 2x}} + {4^{ – 2y}} = 0,5}
end{array}} right..$
Cách 1: Rút $y = 1 – x$ từ phương trình đầu, thế vào phương trình thứ hai được ${4^{ – 2x}} + {4^{ – 2(1 – x)}} = 0,5$ $ Leftrightarrow {left( {{4^{2x}}} right)^2} – {8.4^{2x}} + 16 = 0.$
Đặt $t = {4^{2x}}$ $(t > 0)$ ta được: ${t^2} – 8.t + 16 = 0$ $ Leftrightarrow t = 4.$
Với $t = 4$ $ Rightarrow {4^{2x}} = 4$ $ Leftrightarrow 2x = 1$ $ Leftrightarrow x = frac{1}{2}$ $ Rightarrow y = frac{1}{2}.$
Nghiệm của hệ là $S = left{ {left( {frac{1}{2};frac{1}{2}} right)} right}.$
Cách 2: $x + y = 1$ $ Leftrightarrow {4^{x + y}} = 4$ $ Leftrightarrow {4^x}{.4^y} = 4.$
Đặt $u = {4^x}$, $v = {4^y}$ ta được: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u.v = 4}\
{frac{1}{{{u^2}}} + frac{1}{{{v^2}}} = frac{1}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = 2}\
{v = 2}
end{array}} right.$ (vì $u > 0$, $v > 0$).
Suy ra tập nghiệm của hệ phương trình là $S = { (x;y)} = left{ {left( {frac{1}{2};frac{1}{2}} right)} right}.$

Bài 73. Giải các hệ phương trình:
a) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{3^{ – x}}{{.2}^y} = 1152}\
{{{log }_{sqrt 5 }}(x + y) = 2}
end{array}} right..$
b) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – {y^2} = 2}\
{{{log }_2}(x + y) – {{log }_3}(x – y) = 1}
end{array}} right..$

Lời giải:
a) Từ phương trình thứ hai ta suy ra: $x + y = 5$ $ Leftrightarrow y = 5 – x.$
Thế vào phương trình đầu ta được:
${3^{ – x}}{.2^{5 – x}} = 1152$ $ Leftrightarrow {6^x} = frac{1}{{36}}$ $ Leftrightarrow x = – 2$ $ Rightarrow y = 7.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = ( – 2;7).$
b) Điều kiện: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + y > 0}\
{x – y > 0}
end{array}} right..$
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – {y^2} = 2}\
{{{log }_2}(x + y) – {{log }_3}(x – y) = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_2}(x + y) + {{log }_2}(x – y) = 1}\
{{{log }_2}(x + y) – frac{{{{log }_2}(x – y)}}{{{{log }_2}3}} = 1}
end{array}} right..$
Đặt $u = {log _2}(x + y)$ và $v = {log _2}(x – y)$ ta được:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u + v = 1}\
{u – frac{v}{{{{log }_2}3}} = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = 1}\
{v = 0}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 2}\
{x – y = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{3}{2}}\
{y = frac{1}{2}}
end{array}} right..$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = left( {frac{3}{2};frac{1}{2}} right).$

LUYỆN TẬP

Bài 74. Giải các phương trình:
a) ${log _2}(3 – x) + {log _2}(1 – x) = 3.$
b) ${log _2}left( {9 – {2^x}} right) = {10^{lg (3 – x)}}.$
c) ${7^{lg x}} – {5^{lg x + 1}} = {3.5^{lg x – 1}} – {13.7^{lg x – 1}}.$
d) ${6^x} + {6^{x + 1}} = {2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}}.$

Lời giải:
a) Điều kiện: $x < 1.$ Phương trình đã cho tương đương với:
$(3 – x)(1 – x) = {2^3}$ $ Leftrightarrow {x^2} – 4x – 5 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}\
{x = 5,,{rm{(loại)}}}
end{array}} right..$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = -1.$
b) Điều kiện: $x < 3.$ Phương trình đã cho tương đương với:
$9 – {2^x} = {2^{3 – x}}$ $ Leftrightarrow {left( {{2^x}} right)^2} – {9.2^x} + 8 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{2^x} = 1}\
{{2^x} = 8}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\
{x = 3}
end{array}} right..$
Vậy phương trình có nghiệm $x = 0.$
c) ${7^{lg x}} + {13.7^{lg x – 1}} = {3.5^{lg x – 1}} + {5^{lg x + 1}}.$
$ Leftrightarrow {20.7^{lg x – 1}} = {28.5^{lg x – 1}}$ $ Leftrightarrow {left( {frac{7}{5}} right)^{lg x – 1}} = frac{7}{5}.$
$ Leftrightarrow lg x – 1 = 1$ $ Leftrightarrow lg x = 2$ $ Leftrightarrow x = 100.$
d) ${6^x} + {6^{x + 1}} = {2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}}$ $ Leftrightarrow {7.6^x} = {7.2^x}$ $ Leftrightarrow {3^x} = 1$ $ Leftrightarrow x = 0.$

Bài 75. Giải các phương trình:
a) ${log _3}left( {{3^x} – 1} right).{log _3}left( {{3^{x + 1}} – 3} right) = 12.$
b) ${log _{x – 1}}4 = 1 + {log _2}(x – 1).$
c) $5sqrt {{{log }_2}( – x)} = {log _2}sqrt {{x^2}} .$
d) ${3^{{{log }_4}x + frac{1}{2}}} + {3^{{{log }_4}x – frac{1}{2}}} = sqrt x .$

Lời giải:
a) ${log _3}left( {{3^x} – 1} right).{log _3}left( {{3^{x + 1}} – 3} right) = 12.$
Điều kiện: ${3^x} – 1 > 0.$
$ Leftrightarrow {log _3}left( {{3^x} – 1} right)left[ {1 + {{log }_3}left( {{3^x} – 1} right)} right] = 12.$
$ Leftrightarrow log _3^2left( {{3^x} – 1} right) + {log _3}left( {{3^x} – 1} right) – 12 = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_3}left( {{3^x} – 1} right) = – 4}\
{{{log }_3}left( {{3^x} – 1} right) = 3}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{3^x} – 1 = {3^{ – 4}}}\
{{3^x} – 1 = {3^3}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = {{log }_3}left( {1 + {3^{ – 4}}} right)}\
{x = {{log }_3}left( {1 + {3^3}} right)}
end{array}} right..$
b) ${log _{x – 1}}4 = 1 + {log _2}(x – 1).$
Điều kiện: $0 < x – 1 ne 1.$
$ Leftrightarrow frac{2}{{{{log }_2}(x – 1)}} = 1 + {log _2}(x – 1)$ $ Leftrightarrow log _2^2(x – 1) + {log _2}(x – 1) – 2 = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_2}(x – 1) = 1}\
{{{log }_2}(x – 1) = – 2}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x – 1 = 2}\
{x – 1 = frac{1}{4}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3}\
{x = frac{5}{4}}
end{array}} right..$
c) $5sqrt {{{log }_2}( – x)} = {log _2}sqrt {{x^2}} .$ Điều kiện: $x le – 1.$
Đặt $t = {log _2}( – x)$ ta được:
$5sqrt t = t$ $ Leftrightarrow {t^2} – 25t = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\
{t = 5}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_2}( – x) = 0}\
{{{log }_2}( – x) = 5}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{ – x = 1}\
{ – x = 32}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}\
{x = – 32}
end{array}} right..$
d) Ta có $sqrt x = sqrt {{4^{{{log }_4}x}}} = {2^{{{log }_4}x}}.$
Do đó:
${3^{{{log }_4}x + frac{1}{2}}} + {3^{{{log }_4}x – frac{1}{2}}} = {2^{{{log }_4}x}}$ $ Leftrightarrow frac{4}{{sqrt 3 }} = {left( {frac{2}{3}} right)^{{{log }_4}x}}$ $ Leftrightarrow x = {4^{{{log }_{frac{2}{3}}}frac{4}{{sqrt 3 }}}}.$

Bài 76. Giải các phương trình:
a) ${4^{ – frac{1}{x}}} + {6^{ – frac{1}{x}}} = {9^{ – frac{1}{x}}}.$
b) ${4^{ln x + 1}} – {6^{ln x}} – {2.3^{ln {x^2} + 2}} = 0.$
c) $3sqrt {{{log }_2}x} – {log _2}8x + 1 = 0.$
d) $log _{frac{1}{2}}^2(4x) + {log _2}frac{{{x^2}}}{8} = 8.$

Lời giải:
a) Điều kiện: $x ne 0.$ Phương trình tương đương với:
${left[ {{{left( {frac{2}{3}} right)}^{ – frac{1}{x}}}} right]^2} + {left( {frac{2}{3}} right)^{ – frac{1}{x}}} = 1.$
Đặt ${left( {frac{2}{3}} right)^{ – frac{1}{x}}} = t$ $(t > 0).$
Ta được phương trình: ${t^2} + t – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = frac{{ – 1 – sqrt 5 }}{2},,{rm{(loại)}}}\
{t = frac{{ – 1 + sqrt 5 }}{2}}
end{array}} right..$
Với $t = frac{{sqrt 5 – 1}}{2}$ $ Rightarrow {left( {frac{2}{3}} right)^{ – frac{1}{x}}} = frac{{sqrt 5 – 1}}{2}$ $ Leftrightarrow – frac{1}{x} = {log _{frac{2}{3}}}frac{{sqrt 5 – 1}}{2}$ $ Leftrightarrow x = – {log _{frac{2}{3}}}frac{{sqrt 5 – 1}}{2}.$
b) Điều kiện: $x > 0.$ Ta được phương trình:
${4.2^{2ln x}} – {6^{ln x}} – {18.3^{2ln x}} = 0$ $ Leftrightarrow 4.{left( {frac{2}{3}} right)^{2ln x}} – {left( {frac{2}{3}} right)^{ln x}} – 18 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{left( {frac{2}{3}} right)}^{ln x}} = – 2,,{rm{(vô:nghiệm)}}}\
{{{left( {frac{2}{3}} right)}^{ln x}} = frac{9}{4}}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow {left( {frac{2}{3}} right)^{ln x}} = {left( {frac{2}{3}} right)^{ – 2}}$ $ Leftrightarrow ln x = – 2$ $ Leftrightarrow x = {e^{ – 2}}.$
c) Điều kiện: ${log _2}x ge 0.$ Phương trình tương đương với:
$3sqrt {{{log }_2}x} – {log _2}x – 2 = 0.$
Đặt $t = sqrt {{{log }_2}x} $ $(t ge 0)$ $ Rightarrow 3t – {t^2} – 2 = 0$ $ Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\
{t = 2}
end{array}} right..$
+ $t = 1$ $ Rightarrow sqrt {{{log }_2}x} = 1$ $ Leftrightarrow {log _2}x = 1$ $ Leftrightarrow x = 2.$
+ $t = 2$ $ Rightarrow sqrt {{{log }_2}x} = 2$ $ Leftrightarrow {log _2}x = 4$ $ Leftrightarrow x = {2^4} = 16.$
d) Điều kiện: $x > 0.$ Ta có:
$log _{frac{1}{2}}^2(4x) = {left[ {{{log }_{frac{1}{2}}}4 + {{log }_{frac{1}{2}}}x} right]^2}$ $ = {left( { – 2 – {{log }_2}x} right)^2} = {left( {2 + {{log }_2}x} right)^2}.$
${log _2}frac{{{x^2}}}{8} = {log _2}{x^2} – {log _2}8$ $ = 2{log _2}x – 3.$
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
${left( {2 + {{log }_2}x} right)^2} + 2{log _2}x = 3 + 8$ $ Leftrightarrow log _2^2x + 6{log _2}x – 7 = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_2}x = 1}\
{{{log }_2}x = – 7}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\
{x = {2^{ – 7}}}
end{array}} right..$
Tập nghiệm của phương trình là: $S = left{ {2;{2^{ – 7}}} right}.$

Bài 77. Giải các phương trình:
a) ${2^{{{sin }^2}x}} + {4.2^{{{cos }^2}x}} = 6.$
b) ${4^{3 + 2cos 2x}} – {7.4^{1 + cos 2x}} = {4^{frac{1}{2}}}.$

Lời giải:
a) ${2^{{{sin }^2}x}} + {4.2^{{{cos }^2}x}} = 6$ $ Leftrightarrow {2^{{{sin }^2}x}} + {4.2^{1 – {{sin }^2}x}} = 6$ $ Leftrightarrow {2^{2{{sin }^2}x}} – {6.2^{{{sin }^2}x}} + 8 = 0.$
Đặt $t = {2^{{{sin }^2}x}}$ $(t > 0).$
Ta được: ${t^2} – 6t + 8 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2}\
{t = 4}
end{array}} right..$
+ $t = 2$ $ Rightarrow {2^{{{sin }^2}x}} = 2$ $ Leftrightarrow {sin ^2}x = 1$ $ Leftrightarrow {cos ^2}x = 0$ $ Leftrightarrow cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + kpi $ $(k in Z).$
+ $t = 4$ $ Rightarrow {2^{{{sin }^2}x}} = 4$ $ Leftrightarrow {sin ^2}x = 2.$ Phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $x = frac{pi }{2} + kpi $ $(k in Z).$
b) ${4^{3 + 2cos 2x}} – {7.4^{1 + cos 2x}} = {4^{frac{1}{2}}}$ $ Leftrightarrow {4.4^{2(1 + cos 2x)}} – {7.4^{1 + cos 2x}} = 2.$
Đặt $t = {4^{1 + cos 2x}}$ $(t > 0).$ Ta được phương trình:
$4{t^2} – 7t – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = – frac{1}{4},,{rm{(loại)}}}\
{t = 2}
end{array}} right..$
+ Với $t = 2.$
$ Rightarrow {4^{1 + cos 2x}} = 2$ $ Leftrightarrow 1 + cos 2x = frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow cos 2x = – frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow 2x = pm frac{{2pi }}{3} + k2pi $ $(k in Z).$
$ Leftrightarrow x = pm frac{pi }{3} + kpi $ $(k in Z).$

Bài 78. Giải các phương trình:
a) ${left( {frac{1}{3}} right)^x} = x + 4.$
b) ${left( {sin frac{pi }{5}} right)^x} + {left( {cos frac{pi }{5}} right)^x} = 1.$

Lời giải:
a) Dễ thấy $x = -1$ là nghiệm. Ta chứng minh $x = -1$ là nghiệm duy nhất. Thật vậy:
+ Nếu $x < – 1.$
$VT = {left( {frac{1}{3}} right)^x} > {left( {frac{1}{3}} right)^{ – 1}} = 3.$
$VP = x + 4 < – 1 + 4 = 3.$
$ Rightarrow VT > VP.$
Phương trình không thỏa mãn với $x < -1.$
+ Nếu $x > – 1.$
$VT = {left( {frac{1}{3}} right)^x} < {left( {frac{1}{3}} right)^{ – 1}} = 3.$
$VP = x + 4 > – 1 + 4 = 3.$ $ Rightarrow VT < VP.$
Phương trình vô nghiệm với $x > -1.$
Vậy: Phương trình có nghiệm duy nhất $x = -1.$
b) Dễ thấy: $x = 2$ là nghiệm của phương trình. Ta chứng minh $x = 2$ là nghiệm duy nhất. Thật vậy:
Do $0 < sin frac{pi }{5} < 1$ và $0 < cos frac{pi }{5} < 1$ nên:
+ Nếu $x > 2$ thì ${left( {sin frac{pi }{5}} right)^x} < {left( {sin frac{pi }{5}} right)^2}$ và ${left( {cos frac{pi }{5}} right)^x} < {left( {sin frac{pi }{5}} right)^2}.$
$ Rightarrow {left( {sin frac{pi }{5}} right)^x} + {left( {cos frac{pi }{5}} right)^x}$ $ < {left( {sin frac{pi }{5}} right)^2} + {left( {cos frac{pi }{5}} right)^2} = 1.$
+ Nếu $x < 2$ thì ${left( {sin frac{pi }{5}} right)^x} + {left( {cos frac{pi }{5}} right)^x} > 1.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2.$

Bài 79. Giải các hệ phương trình:
a) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{3.2}^x} + {{2.3}^y} = 2,75}\
{{2^x} – {3^y} = – 0,75}
end{array}} right..$
b) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_5}x + {{log }_5}7.{{log }_7}y = 1 + {{log }_5}2}\
{3 + {{log }_2}y = {{log }_2}5left( {1 + 3{{log }_5}x} right)}
end{array}} right..$

Lời giải:
a) Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = {2^x}}&{(u > 0)}\
{v = {3^y}}&{(v > 0)}
end{array}} right.$ ta được:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{3u + 2v = 2,75}\
{u – v = – 0,75}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = 0,25}\
{v = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{2^x} = 0,25}\
{{3^y} = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2}\
{y = 0}
end{array}} right..$
b) Điều kiện: $x > 0$, $y > 0.$ Hệ đã cho tương đương:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_5}x + {{log }_5}y = 1 + {{log }_5}2}\
{3 + {{log }_2}y = {{log }_2}5 + 3{{log }_2}x}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_5}xy = {{log }_5}10}\
{{{log }_2}8y = {{log }_2}5{x^3}}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{xy = 10}\
{8y = 5{x^3}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{y = frac{{10}}{x}}\
{{x^4} = 16}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2,,(x > 0)}\
{y = 5}
end{array}} right..$

Be the first to comment

Leave a Reply