Giải bài tập SGK Giải tích 12 nâng cao: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Với số thực $a$ và các số nguyên $m$, $n$, ta có: ${a^m}.{a^n} = {a^{m.n}}$, $frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m:n}}.$
b) Với hai số thực $a$, $b$ cùng khác $0$ và số nguyên $n$, ta có ${(ab)^n} = {a^n}{b^n}$, ${left( {frac{a}{b}} right)^n} = frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}.$
c) Với hai số thực $a$, $b$ thỏa mãn $0 < a < b$ và số nguyên $n$, ta có ${a^n} < {b^n}.$
d) Với số thực $a ne 0$ và hai số nguyên $m$, $n$, ta có: Nếu $m > n$ thì ${a^m} > {a^n}.$

Lời giải:
a) Sai. ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$, $frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}}.$
b) Đúng.
c) Sai. Chẳng hạn ${a^0} = {b^0}.$
d) Sai. Chẳng hạn ${( – 1)^3} < {( – 1)^2}.$

Bài 2. Xét khẳng định: “Với số thực $a$ và hai số hữu tỉ $r$, $s$ ta có ${left( {{a^r}} right)^s} = {a^{r.s}}.$ Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên là đúng?
(A) $a$ bất kỳ.
(B) $a ne 0.$
(C) $a > 0.$
(D) $a < 0.$

Lời giải:
Điều kiện (C). Vì theo tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

Bài 3. Viết các số sau dưới dạng số nguyên hay phân số tối giản:
${7^{ – 1}}.14.$
$frac{4}{{{3^{ – 2}}}}.$
${left( {frac{4}{5}} right)^{ – 2}}.$
$frac{{{{( – 18)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}}.$

Lời giải:
${7^{ – 1}}.14 = frac{1}{7}.14 = frac{{14}}{7} = 2.$
$frac{4}{{{3^{ – 2}}}} = {4.3^2} = 36.$
${left( {frac{4}{5}} right)^{ – 2}} = {left( {frac{5}{4}} right)^2} = frac{{25}}{{16}}.$
$frac{{{{( – 18)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}} = frac{{{{18}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}} = frac{{12}}{5}.$

Bài 4. Thực hiện phép tính:
a) ${81^{ – 0,75}} + {left( {frac{1}{{125}}} right)^{ – frac{1}{3}}} – {left( {frac{1}{{32}}} right)^{ – frac{3}{5}}}.$
b) ${(0,001)^{ – frac{1}{3}}} – {( – 2)^2}{.64^{frac{2}{3}}} – {8^{ – 1frac{1}{3}}} + {left( {{9^0}} right)^2}.$
c) ${27^{frac{2}{3}}} + {left( {frac{1}{{16}}} right)^{ – 0,75}} – {25^{0,5}}.$
d) ${( – 0,5)^{ – 4}} – {625^{0,25}} – {left( {2frac{1}{4}} right)^{ – 1frac{1}{2}}} + 19{( – 3)^{ – 3}}.$

Lời giải:
a) ${81^{ – 0,75}} + {left( {frac{1}{{125}}} right)^{ – frac{1}{3}}} – {left( {frac{1}{{32}}} right)^{ – frac{3}{5}}}$ $ = {81^{ – frac{3}{4}}} + {(125)^{frac{1}{3}}} – {(32)^{frac{3}{5}}}$ $ = frac{1}{{{{81}^{frac{3}{4}}}}} + sqrt[3]{{125}} – sqrt[5]{{{{32}^3}}}.$
$ = frac{1}{{{{(sqrt[4]{{81}})}^3}}} + sqrt[3]{{125}} – {(sqrt[5]{{32}})^3}$ $ = frac{1}{{{3^3}}} + 5 – {2^3}$ $ = frac{1}{{27}} – 3$ $ = – frac{{80}}{{27}}.$
b) ${(0,001)^{ – frac{1}{3}}} – {( – 2)^2}{.64^{frac{2}{3}}} – {8^{ – 1frac{1}{3}}} + {left( {{9^0}} right)^2}$ $ = frac{1}{{sqrt[3]{{0,001}}}} – 4.{(sqrt[3]{{64}})^2} – frac{1}{{{{(sqrt[3]{8})}^4}}} + 1.$
$ = frac{1}{{0,1}} – 4.16 – frac{1}{{16}} + 1$ $ = frac{{116}}{{16}}.$
c) ${27^{frac{2}{3}}} + {left( {frac{1}{{16}}} right)^{ – 0,75}} – {25^{0,5}}$ $ = {(sqrt[3]{{27}})^2} + {16^{frac{3}{4}}} – {25^{frac{1}{2}}}$ $ = {3^2} + {2^3} – 5$ $ = 12.$
d) ${( – 0,5)^{ – 4}} – {625^{0,25}} – {left( {2frac{1}{4}} right)^{ – 1frac{1}{2}}} + 19{( – 3)^{ – 3}}$ $ = frac{1}{{{{( – 0,5)}^4}}} – sqrt[4]{{625}} – {left( {frac{4}{9}} right)^{frac{3}{2}}} + 19.frac{1}{{ – 27}}.$
$ = 16 – 5 – frac{8}{{27}} – frac{{19}}{{27}}$ $ = 10.$

Bài 5. Đơn giản biểu thức:
a) $frac{{{{(sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}})}^4}}}{{sqrt[3]{{sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}.$
b) $frac{{{a^{frac{1}{3}}} – {a^{frac{7}{3}}}}}{{{a^{frac{1}{3}}} – {a^{frac{4}{3}}}}} – frac{{{a^{ – frac{1}{3}}} – {a^{frac{5}{3}}}}}{{{a^{frac{2}{3}}} + {a^{ – frac{1}{3}}}}}.$

Lời giải:
a) $frac{{{{(sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}})}^4}}}{{sqrt[3]{{sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}} = frac{{{a^3}{b^2}}}{{sqrt[3]{{{a^6}{b^3}}}}}$ $ = frac{{{a^3}{b^2}}}{{{a^2}b}} = ab.$
b) $frac{{sqrt[3]{a} – sqrt[3]{{{a^7}}}}}{{sqrt[3]{a} – sqrt[3]{{{a^4}}}}} – frac{{frac{1}{{sqrt[3]{a}}} – sqrt[3]{{{a^5}}}}}{{sqrt[3]{{{a^2}}} + frac{1}{{sqrt[3]{a}}}}}$ $ = frac{{sqrt[3]{a} – {a^2}.sqrt[3]{a}}}{{sqrt[3]{a} – asqrt[3]{a}}} – frac{{1 – sqrt[3]{{{a^6}}}}}{{sqrt[3]{{{a^3}}} + 1}}$ $ = frac{{left( {1 – {a^2}} right)sqrt[3]{a}}}{{(1 – a)sqrt[3]{a}}} – frac{{1 – {a^2}}}{{a + 1}}.$
$ = (1 + a) – (1 – a) = 2a.$

Bài 6. So sánh các số:
a) $sqrt 2 $ và $sqrt[3]{3}.$
b) $sqrt 3 + sqrt[3]{{30}}$ và $sqrt[3]{{63}}.$
c) $sqrt[3]{7} + sqrt {15} $ và $sqrt {10} + sqrt[3]{{28}}.$

Lời giải:
a) Giả sử $sqrt 2 < sqrt[3]{3}$ $ Leftrightarrow {(sqrt 2 )^3} < 3$ $ Leftrightarrow 2sqrt 2 < 3$ $ Leftrightarrow 8 < 9$ đúng.
Vậy $sqrt 2 < sqrt[3]{3}.$
b) Giả sử $sqrt 3 + sqrt[3]{{30}} < sqrt[3]{{63}}$ $ Leftrightarrow 3sqrt 3 + 9sqrt[3]{{30}} + 3sqrt 3 sqrt[3]{{{{30}^2}}} < 63 – 30.$
$ Leftrightarrow 3sqrt 3 + 9sqrt[3]{{30}} + 3sqrt 3 sqrt[3]{{{{30}^2}}} < 33$ $(*).$
Ta có: $3sqrt[3]{3} > 3.$
$9sqrt[3]{{30}} > 9sqrt[3]{{27}} = 27.$
$3sqrt 3 sqrt[3]{{{{30}^2}}} > 3sqrt[3]{{27.27}} = 27$ $ Rightarrow sqrt[3]{3} + 9sqrt[3]{{30}} + 3sqrt 3 sqrt[3]{{{{30}^2}}} > 57 > 33.$
Vậy $(*)$ sai $ Rightarrow sqrt 3 + sqrt[3]{{30}} > sqrt[3]{{63}}.$
c) Giả sử $sqrt[3]{7} + sqrt {15} > sqrt {10} + sqrt[3]{{28}}$ $ Leftrightarrow sqrt {15} – sqrt {10} > sqrt[3]{{28}} – sqrt[3]{7}.$
$ Leftrightarrow 5 – 2sqrt {150} > sqrt[3]{{{{28}^2}}} – 2sqrt[3]{{28.7}} + sqrt[3]{{{7^2}}}.$
$ Leftrightarrow 5 + 2sqrt[3]{{28.7}} > sqrt[3]{{{{28}^2}}} + 2sqrt {155} + sqrt[3]{{{7^2}}}$ $(*).$
Do:
$2sqrt {155} > 2sqrt {125} $ $ = 2.5 = 10 > 5.$
$sqrt[3]{{{{28}^2}}} = sqrt[3]{{{4^2}{{.7}^2}{{.4}^2}{{.7}^2}}}$ $ = 2sqrt[3]{{{{2.7}^2}.28}} > 2sqrt[3]{{28.7}}.$
Vậy $sqrt[3]{{{{28}^2}}} + 2sqrt {155} + sqrt[3]{{{7^2}}} > 5 + 2sqrt[3]{{28.7}}$ $ Rightarrow (*)$ sai. Vậy $sqrt[3]{7} + sqrt {15} < sqrt {10} + sqrt[3]{{28}}.$

Bài 7. Chứng minh $sqrt[3]{{7 + 5sqrt 2 }} + sqrt[3]{{7 – 5sqrt 2 }} = 2.$

Lời giải:
Ta có:
$ Leftrightarrow 7 + 5sqrt 2 $ $ + 3sqrt[3]{{{{(7 + 5sqrt 2 )}^2}}}sqrt[3]{{7 – 5sqrt 2 }}$ $ + 3sqrt[3]{{7 + 5sqrt 2 }}sqrt[3]{{{{(7 – 5sqrt 2 )}^2}}}$ $ + 7 – 5sqrt 2 = 8.$
$ Leftrightarrow 14 + 3sqrt[3]{{( – 1)(7 + 5sqrt 2 )}}$ $ + 3sqrt[3]{{ – 1(7 – 5sqrt 2 )}} = 8.$
$ Leftrightarrow 6 – 3sqrt[3]{{7 + 5sqrt 2 }} – 3sqrt[3]{{7 – 5sqrt 2 }} = 0$ $ Leftrightarrow 6 – 3(sqrt[3]{{7 + 5sqrt 2 }} + sqrt[3]{{7 – 5sqrt 2 }}) = 0.$
$ Leftrightarrow 6 – 3.2 = 0$ (điều phải chứng minh).

LUYỆN TẬP

Bài 8. Đơn giản biểu thức:
a) $M = frac{{sqrt a – sqrt b }}{{sqrt[4]{a} – sqrt[4]{b}}} – frac{{sqrt a + sqrt[4]{{ab}}}}{{sqrt[4]{a} + sqrt[4]{b}}}.$
b) $N = frac{{a – b}}{{sqrt[3]{a} – sqrt[3]{b}}} – frac{{a + b}}{{sqrt[3]{a} + sqrt[3]{b}}}.$
c) $E = left[ {frac{{a + b}}{{sqrt[3]{a} + sqrt[3]{b}}} – sqrt[3]{{ab}}} right]:{(sqrt[3]{a} – sqrt[3]{b})^2}.$
d) $F = frac{{a – 1}}{{{a^{frac{3}{4}}} + {a^{frac{1}{2}}}}} cdot frac{{sqrt a + sqrt[4]{a}}}{{sqrt a + 1}}.{a^{frac{1}{4}}} + 1.$

Lời giải:
a) $M = frac{{(sqrt[4]{a} – sqrt[4]{b})(sqrt[4]{a} + sqrt[4]{b})}}{{sqrt[4]{a} – sqrt[4]{b}}}$ $ – frac{{sqrt[4]{a}(sqrt[4]{a} + sqrt[4]{b})}}{{sqrt[4]{a} + sqrt[4]{b}}}$ $ = sqrt[4]{a} + sqrt[4]{b} – sqrt[4]{a}$ $ = sqrt[4]{b}.$
b) $N = frac{{(sqrt[3]{a} – sqrt[3]{b})(sqrt[3]{{{a^2}}} + sqrt[3]{{ab}} + sqrt[3]{{{b^2}}})}}{{sqrt[3]{a} – sqrt[3]{b}}}$ $ – frac{{(sqrt[3]{a} + sqrt[3]{b})(sqrt[3]{{{a^2}}} – sqrt[3]{{ab}} + sqrt[3]{{{b^2}}})}}{{sqrt[3]{a} + sqrt[3]{b}}}.$
$ = sqrt[3]{{{a^2}}} + sqrt[3]{{ab}} + sqrt[3]{{{b^2}}}$ $ – sqrt[3]{{{a^2}}} + sqrt[3]{{ab}} – sqrt[3]{{{b^2}}}$ $ = 2sqrt[3]{{ab}}.$
c) $E = left[ {frac{{(sqrt[3]{a} + sqrt[3]{b})(sqrt[3]{{{a^2}}} – sqrt[3]{{ab}} + sqrt[3]{{{b^2}}})}}{{sqrt[3]{a} + sqrt[3]{b}}} – sqrt[3]{{ab}}} right]$ $:{(sqrt[3]{a} – sqrt[3]{b})^2}.$
$ = (sqrt[3]{{{a^2}}} – 2sqrt[3]{{ab}} + sqrt[3]{{{b^2}}}):{(sqrt[3]{a} – sqrt[3]{b})^2}$ $ = 1.$
d) $F = frac{{(sqrt a – 1)(sqrt a + 1)}}{{{a^{frac{3}{4}}} + {a^{frac{1}{2}}}}}.frac{{left( {{a^{frac{1}{2}}} + {a^{frac{1}{4}}}} right){a^{frac{1}{4}}}}}{{sqrt a + 1}} + 1$ $ = frac{{(sqrt a – 1)left( {{a^{frac{3}{4}}} + {a^{frac{1}{2}}}} right)}}{{{a^{frac{1}{3}}} + {a^{frac{1}{2}}}}} + 1$ $ = sqrt a – 1 + 1$ $ = sqrt a .$

Bài 9. Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, chứng minh $sqrt[n]{{ab}} = sqrt[n]{a}.sqrt[n]{b}$ ($a ge 0$, $b ge 0$, $n$ nguyên dương).

Lời giải:
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sqrt[n]{a} = x}\
{sqrt[n]{b} = y}
end{array}} right.$ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x ge 0}\
{y ge 0}
end{array}} right..$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{a = {x^n}}\
{b = {y^n}}
end{array}} right.$ $ Rightarrow ab = {x^n}.{y^n}.$
Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, ta có:
$ab = {(xy)^n}$ $ Rightarrow xy = sqrt[n]{{ab}}$ $ Rightarrow sqrt[n]{{ab}} = sqrt[n]{a}.sqrt[n]{b}.$

Bài 10. Chứng minh:
a) $sqrt {4 + 2sqrt 3 } – sqrt {4 – 2sqrt 3 } = 2.$
b) $sqrt[3]{{9 + sqrt {80} }} + sqrt[3]{{9 – sqrt {80} }} = 3.$

Lời giải:
a) $sqrt {4 + 2sqrt 3 } – sqrt {4 – 2sqrt 3 } $ $ = sqrt {{{(sqrt 3 + 1)}^2}} – sqrt {{{(sqrt 3 – 1)}^2}} $ $ = sqrt 3 + 1 – (sqrt 3 – 1)$ $ = 2.$
b) Đặt $x = sqrt[3]{{9 + sqrt {80} }} + sqrt[3]{{9 – sqrt {80} }}$ $ Rightarrow {x^3} = {(sqrt[3]{{9 + sqrt {80} }} + sqrt[3]{{9 – sqrt {80} }})^3}.$
$ Rightarrow {x^3} = 9 + sqrt {80} + 9 – sqrt {80} $ $ + 3sqrt[3]{{9 + sqrt {80} }}.sqrt[3]{{9 – sqrt {80} }}left[ {sqrt[3]{{9 + sqrt {80} }} + sqrt[3]{{9 – sqrt {80} }}} right].$
$ Rightarrow {x^3} = 18 + 3x$ $ Rightarrow {x^3} – 3x – 18 = 0.$
$ Rightarrow (x – 3)left( {{x^2} + 3x + 6} right)$ $ Rightarrow x = 3.$

Bài 11. So sánh các số:
a) ${(sqrt 3 )^{ – frac{5}{6}}}$ và $sqrt[3]{{{3^{ – 1}}.sqrt[4]{{frac{1}{3}}}}}.$
b) ${3^{600}}$ và ${5^{400}}.$
c) ${left( {frac{1}{2}} right)^{ – frac{5}{7}}}$ và $sqrt 2 {.2^{frac{3}{{14}}}}.$
d) ${7^{30}}$ và ${4^{40}}.$

Lời giải:
a) Ta có: ${(sqrt 3 )^{ – frac{5}{6}}} = {left( {{3^{frac{1}{2}}}} right)^{ – frac{5}{6}}} = {3^{ – frac{5}{{12}}}}$ và $sqrt[3]{{{3^{ – 1}}.sqrt[4]{{frac{1}{3}}}}} = {left( {{3^{ – 1}}{{.3}^{ – frac{1}{4}}}} right)^{frac{1}{3}}}$ $ = {3^{ – frac{5}{{12}}}}.$
Vậy ${(sqrt 3 )^{ – frac{5}{6}}} = sqrt[3]{{{3^{ – 1}}.sqrt[4]{{frac{1}{3}}}}}.$
b) ${left( {{3^6}} right)^{100}} = {729^{100}}$ và ${left( {{5^4}} right)^{100}} = {(625)^{100}}$ $ Rightarrow {3^{600}} > {5^{400}}.$
c) ${left( {frac{1}{2}} right)^{ – frac{5}{7}}} = {left[ {{{left( {frac{1}{2}} right)}^{ – 1}}} right]^{frac{5}{7}}} = {2^{frac{5}{7}}}$ và $sqrt 2 {.2^{frac{3}{{14}}}} = {2^{frac{1}{2}}}{.2^{frac{3}{{14}}}}$ $ = {2^{frac{1}{2} + frac{3}{{14}}}} = {2^{frac{5}{7}}}.$
Vậy ${left( {frac{1}{2}} right)^{ – frac{5}{7}}} = sqrt 2 {.2^{frac{3}{{14}}}}.$
d) ${7^{30}} = {left( {{7^3}} right)^{10}} = {343^{10}}.$
${4^{40}} = {left( {{4^4}} right)^{10}} = {256^{10}}.$
Vì: $343 > 256 > 0$ nên: ${343^{10}} > {256^{10}}$ $ Rightarrow {7^{30}} > {4^{40}}.$

Be the first to comment

Leave a Reply