Giải bài tập SGK Giải tích 12 nâng cao: Một số phương pháp tìm nguyên hàm

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Một số phương pháp tìm nguyên hàm.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 5. Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f(x) = frac{{9{x^2}}}{{sqrt {1 – {x^3}} }}.$
b) $f(x) = frac{1}{{sqrt {5x + 4} }}.$
c) $f(x) = xsqrt[4]{{1 – {x^2}}}.$
d) $f(x) = frac{1}{{sqrt x {{(1 + sqrt x )}^2}}}.$

Lời giải:
a) $f(x) = frac{{9{x^2}}}{{sqrt {1 – {x^3}} }}$ $ Rightarrow int f (x)dx = int {frac{{9{x^2}}}{{sqrt {1 – {x^3}} }}dx} .$
Đặt $u = 1 – {x^3}$ thì $du = – 3{x^2}dx$ nên:
$int {frac{{9{x^2}}}{{sqrt {1 – {x^3}} }}dx} $ $ = int {frac{{ – 3du}}{{sqrt u }}} $ $ = – 3int {{u^{ – frac{1}{2}}}} du$ $ = – 6sqrt u + C$ $ = – 6sqrt {1 – {x^3}} + C.$
b) $int f (x)dx$ $ = int {frac{1}{{sqrt {5x + 4} }}dx} $ $ = frac{1}{5}int {frac{{d(5x + 1)}}{{{{(5x + 1)}^{frac{1}{2}}}}}} $ $ = frac{1}{5}int {{{(5x + 1)}^{ – frac{1}{2}}}} d(5x + 1).$
$ = frac{1}{5}2.{(5x + 1)^{frac{1}{2}}} + C$ $ = frac{2}{5}sqrt {5x + 4} + C.$
c) $int f (x)dx = int x sqrt[4]{{1 – {x^2}}}dx.$
Đặt $u = 1 – {x^2}$ thì $du = – 2xdx.$
Nên $int f (x)dx$ $ = – frac{1}{2}int {sqrt[4]{u}du} $ $ = – frac{1}{2}int {{u^{frac{1}{4}}}} du$ $ = – frac{2}{5}{u^{frac{5}{4}}} + C$ $ = – frac{2}{5}sqrt {{{left( {1 – {x^2}} right)}^{frac{5}{4}}}} + C.$
d) $int f (x)dx$ $ = int {frac{1}{{sqrt x {{(1 + sqrt x )}^2}}}dx} .$
Đặt $u = 1 + sqrt x $ thì $du = – frac{1}{{2sqrt x }}dx.$
Nên $int f (x)dx$ $ = 2int {frac{{du}}{{{u^2}}}} $ $ = 2int {{u^{ – 2}}} du$ $ = – 2{u^{ – 1}} + C$ $ = frac{{ – 2}}{{1 + sqrt x }} + C.$

Bài 6. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f(x) = xsin frac{x}{2}.$
b) $f(x) = {x^2}cos x.$
c) $f(x) = x.{e^x}.$
d) $f(x) = {x^3}ln (2x).$

Lời giải:
a) $int x sin frac{x}{2}dx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\
{dv = sin frac{x}{2}dx}
end{array}} right.$ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\
{v = – 2cos frac{x}{2}}
end{array}} right..$
Cho nên: $int x sin frac{x}{2}dx$ $ = – 2xcos frac{x}{2} + int 2 cos frac{x}{2}dx.$
$ = – 2xcos frac{x}{2} + 4sin frac{x}{2} + C.$
b) $int {{x^2}} cos xdx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} = u}\
{dv = cos xdx}
end{array}} right.$ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2xdx}\
{v = sin x}
end{array}} right..$
Cho nên: $int {{x^2}} cos xdx$ $ = {x^2}sin x – 2int x sin xdx.$
Lại đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = x}\
{d{v_1} = sin xdx}
end{array}} right.$ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{d{u_1} = dx}\
{{v_1} = – cos x}
end{array}} right..$
Cho nên: $int {{x^2}} cos xdx$ $ = {x^2}sin x$ $ – 2left[ { – xcos x + int {cos xdx} } right].$
$ = {x^2}sin x + 2xcos x – 2sin x + C.$
c) $int {x{e^x}} dx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\
{dv = {e^x}dx}
end{array}} right.$ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\
{v = {e^x}}
end{array}} right..$
Cho nên: $int {x{e^x}} dx$ $ = x{e^x} – int {{e^x}} dx$ $ = x{e^x} – {e^x} + C.$
d) $int {{x^3}} ln (2x)dx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = ln (2x)}\
{dv = {x^3}dx}
end{array}} right.$ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = frac{1}{x}dx}\
{v = frac{{{x^4}}}{4}}
end{array}} right..$
Cho nên: $int {{x^3}} ln (2x)dx$ $ = frac{{{x^4}}}{4}ln (2x) – int {frac{{{x^4}}}{4}} .frac{{dx}}{x}$ $ = frac{{{x^4}}}{4}ln (2x) – frac{{{x^4}}}{{16}} + C.$

LUYỆN TẬP

Bài 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f(x) = 3xsqrt {7 – 3{x^2}} .$
b) $f(x) = cos (3x + 4).$
c) $f(x) = frac{1}{{{{cos }^2}(3x + 2)}}.$
d) $f(x) = {sin ^5}frac{x}{3}cos frac{x}{3}.$

Lời giải:
a) Xét $I = int 3 xsqrt {7 – 3{x^2}} dx.$
Đặt $t = sqrt {7 – 3{x^2}} $ $ Rightarrow {t^2} = 7 – 3{x^2}$ $ Rightarrow tdt = – 3xdx$ $ Leftrightarrow 3xdx = – tdt.$
Suy ra: $I = – int t .tdt = – frac{{{t^3}}}{3} + C.$
Vậy $I = int 3 xsqrt {7 – 3{x^2}} dx$ $ = – frac{{sqrt {{{left( {7 – 3{x^2}} right)}^3}} }}{3} + C.$
b) Xét $J = int {cos } (3x + 4)dx.$
Đặt $t = 3x + 4$ $ Rightarrow dx = frac{1}{3}dt.$ Suy ra: $J = frac{1}{3}int {cos t} dt$ $ = frac{1}{3}sin t + C.$
Vậy nguyên hàm của hàm $f(x) = cos (3x + 4)$ là $F(x) = frac{1}{3}sin (3x + 4) + C.$
c) Xét $K = int {frac{{dx}}{{{{cos }^2}(3x + 2)}}} .$
Đặt $t = 3x + 2$ $ Rightarrow dx = frac{1}{3}dt.$ Suy ra: $K = frac{1}{3}int {frac{{dt}}{{{{cos }^2}t}}} $ $ = frac{1}{3}tan t + C.$
Vậy $int {frac{{dx}}{{{{cos }^2}(3x + 2)}}} $ $ = frac{1}{3}tan (3x + 2) + C.$
d) Xét $L = int {{{sin }^5}} frac{x}{3}cos frac{x}{3}dx$ $ = int {{{left( {1 – {{cos }^2}frac{x}{3}} right)}^2}} cos frac{x}{3}.sin frac{x}{3}dx.$
Đặt $t = cos frac{x}{3}$ $ Rightarrow dt = – frac{1}{3}sin frac{x}{3}dx$ $ Rightarrow sin frac{x}{3}dx = – 3dt.$
Suy ra: $L = int {{{left( {1 – {t^2}} right)}^2}} t.( – 3dt)$ $ = – 3int {left( {{t^5} – 2{t^3} + t} right)dt} $ $ = – frac{1}{3}{t^6} – frac{1}{2}{t^4} + frac{{{t^2}}}{2} + C.$
Vậy nguyên hàm của hàm số $f(x) = {sin ^5}frac{x}{3}cos frac{x}{3}$ là:
$F(x) = – frac{1}{3}{cos ^6}frac{x}{3} – frac{1}{2}{cos ^4}frac{x}{3} + frac{1}{2}{cos ^2}frac{x}{3} + C.$

Bài 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a) $f(x) = {x^2}{left( {frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} right)^5}.$
b) $f(x) = frac{1}{{{x^2}}}.sin frac{1}{x}cos frac{1}{x}.$
c) $f(x) = {x^3}{e^x}.$
d) $f(x) = {e^{sqrt {3x – 9} }}.$

Lời giải:
a) Xét $I = int {{x^2}} {left( {frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} right)^5}dx.$
Đặt $t = frac{{{x^3}}}{{18}} – 1$ $ Rightarrow dt = frac{1}{6}{x^2}dx$ $ Leftrightarrow {x^2}dx = 6dt.$
Suy ra $I = int {{t^5}} .6dt = {t^6} + C.$
Vậy $I = int {{x^2}} {left( {frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} right)^5}dx$ $ = {left( {frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} right)^6} + C.$
b) Xét $J = int {frac{1}{{{x^2}}}} .sin frac{1}{x}cos frac{1}{x}dx$ $ = frac{1}{2}int {frac{1}{{{x^2}}}} .sin frac{2}{x}dx.$
Đặt $t = frac{2}{x}$ $ Rightarrow dt = – frac{2}{{{x^2}}}dx$ $ Leftrightarrow frac{{dx}}{{{x^2}}} = – frac{1}{2}dt.$
Suy ra $J = – frac{1}{4}int {sin tdt} $ $ = frac{1}{4}cos t + C.$
Vậy nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac{1}{{{x^2}}}.sin frac{1}{x}cos frac{1}{x}$ là $F(x) = frac{1}{4}cos frac{2}{x} + C.$
c) Xét $L = int {{x^3}} .{e^x}dx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = {x^3}}\
{dv = {e^x}dx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = 3{x^2}dx}\
{v = {e^x}}
end{array}} right..$
Suy ra $L = {x^3}.{e^x} – 3int {{x^2}} .{e^x}dx.$
Tương tự như trên. Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = {x^2}}\
{d{v_1} = {e^x}dx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{d{u_1} = 2xdx}\
{{e^x} = {v_1}}
end{array}} right..$
$ Rightarrow L = {x^3}.{e^x} – 3left( {{x^2}.{e^x}} right) + 6int {x{e^x}} dx$ $ = {x^3}.{e^x} – 3{x^2}.{e^x} + 6x.{e^x} – 6{e^x} + C.$
$ = {e^x}left( {{x^3} – 3{x^2} + 6x – 6} right) + C.$
d) Xét $K = int {{e^{sqrt {3x – 9} }}} dx.$
Đặt $t = sqrt {3x – 9} $ $ Rightarrow {t^2} = 3x – 9$ $ Rightarrow 2tdt = 3dx$ $ Rightarrow K = frac{2}{3}int t .{e^t}dt.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = t}\
{dv = {e^t}dt}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = dt}\
{v = {e^t}}
end{array}} right..$
Suy ra $K = frac{2}{3}t.{e^t} – frac{2}{3}int {{e^t}} dt$ $ = frac{2}{3}t.{e^t} – frac{2}{3}{e^t} + C.$
Vậy nguyên hàm của $f(x) = {e^{sqrt {3x – 9} }}$ là $F(x) = frac{2}{3}sqrt {3x – 9} .{e^{sqrt {3x – 9} }}$ $ – frac{2}{3}{e^{sqrt {3x – 9} }} + C.$

Bài 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a) $f(x) = {x^2}cos 2x.$
b) $f(x) = sqrt x .ln x.$
c) $f(x) = {sin ^4}x.cos x.$
d) $f(x) = xcos left( {{x^2}} right).$

Lời giải:
a) Xét $T = int {{x^2}} cos 2xdx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = {x^2}}\
{dv = cos 2xdx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{dv = 2xdx}\
{v = frac{1}{2}sin 2x}
end{array}} right..$
Suy ra: $I = {x^2}frac{1}{2}sin x – int x .sin 2xdx$ $ = frac{{{x^2}sin 2x}}{2} – int x .sin 2xdx.$
Tính ${I_1} = int x .sin 2xdx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = x}\
{d{v_1} = sin 2xdx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{d{u_1} = dx}\
{{v_1} = – frac{1}{2}cos 2x}
end{array}} right..$
$ Rightarrow {I_1} = – frac{1}{2}xcos 2x + frac{1}{2}int {cos 2xdx} $ $ = – frac{1}{2}xcos 2x + frac{1}{2}.frac{1}{2}sin 2x + C.$
Vậy $int {{x^2}} .cos 2xdx$ $ = frac{{{x^2}.sin 2x}}{2} – frac{1}{2}xcos 2x$ $ + frac{1}{4}sin 2x + C.$
b) Xét $J = int {sqrt x } ln xdx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = ln x}\
{dv = sqrt x dx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = frac{1}{x}dx}\
{v = frac{2}{3}.{x^{frac{3}{2}}}}
end{array}} right..$
Suy ra: $J = frac{2}{3}.{x^{frac{3}{2}}}.ln x – frac{2}{3}int {frac{1}{x}} (xsqrt x )dx$ $ = frac{2}{3}xsqrt x ln x – frac{2}{3}int {sqrt x } dx.$
$ = frac{2}{3}xsqrt x ln x – frac{2}{3}int {{x^{frac{1}{2}}}} dx$ $ = frac{2}{3}xsqrt x ln x – frac{2}{3}frac{{xsqrt x }}{{frac{3}{2}}} + C.$
$ = frac{2}{3}xsqrt x {left( {ln x – frac{2}{3}} right)^2} + C.$
c) Xét $L = int {{{sin }^4}} x.cos xdx.$
Đặt $t = sin x$ $ Rightarrow dt = cos xdx.$
Suy ra: $L = int {{t^4}} dt = frac{{{t^5}}}{5} + C.$
Vậy $L = int {{{sin }^4}} xcos xdx$ $ = frac{{{{sin }^5}x}}{5} + C.$
d) Xét $K = int x cos left( {{x^2}} right)dx.$
Đặt $t = {x^2}$ $ Rightarrow dt = 2xdx$ $ Leftrightarrow xdx = frac{{dt}}{2}.$
Suy ra: $K = frac{1}{2}int {cos tdt} $ $ = frac{1}{2}sin t + C.$
Vậy $K = int x cos left( {{x^2}} right)dx$ $ = frac{1}{2}sin {x^2} + C.$

Be the first to comment

Leave a Reply