Giải bài tập SGK Hình học 12 nâng cao: Phương trình đường thẳng

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao: Phương trình đường thẳng.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 24. Viết phương trình (tham số và chính tắc) của các đường thẳng sau đây:
a) Các trục tọa độ $Ox$, $Oy$ và $Oz.$
b) Các đường thẳng đi qua điểm ${M_0}left( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)$ (với ${x_0}{y_0}{z_0} ne 0$) và song song với mỗi trục tọa độ.
c) Đường thẳng đi qua $M(2;0; – 1)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u ( – 1;3;5).$
d) Đường thẳng đi qua $N(2;1;2)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u (0;0; – 3).$
e) Đường thẳng đi qua $N(3;2;1)$ và vuông góc với mặt phẳng: $2x – 5y + 4 = 0.$
g) Đường thẳng đi qua hai điểm $P(2;3; – 1)$ và $Q(1;2;4).$

Lời giải:
a) Trục $Ox$ là đường thẳng đi qua $O(0;0;0)$ và nhận $overrightarrow i (1;0;0)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\
{y = 0}\
{z = 0}
end{array}} right..$
Tương tự, trục $Oy$ có phương trình $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\
{y = t}\
{z = 0}
end{array}} right..$
Trục $Oz$ có phương trình $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\
{y = 0}\
{z = t}
end{array}} right..$
b) Đường thẳng đi qua ${M_0}left( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)$ và song song với trục $Ox$ sẽ có vectơ chỉ phương là $overrightarrow i (1;0;0)$ nên có phương trình tham số là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0} + t}\
{y = {y_0}}\
{z = {z_0}}
end{array}} right..$
Tương tự ta có phương trình của đường thẳng đi qua ${M_0}left( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)$ và song song với $Oy$ là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0}}\
{y = {y_0} + t}\
{z = {z_0}}
end{array}} right..$
Phương trình của đường thẳng đi qua ${M_0}left( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)$ và song song với $Oz$ là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0}}\
{y = {y_0}}\
{z = {z_0} + t}
end{array}} right..$
c) Đường thẳng đi qua $M(2;0; – 1)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u ( – 1;3;5)$ có phương trình tham số là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t}\
{y = 3t}\
{z = – 1 + 5t}
end{array}} right.$ có phương trình chính tắc là $frac{{x – 2}}{{ – 1}} = frac{y}{3} = frac{{z + 1}}{5}.$
d) Đường thẳng đi qua $N( – 2;1;2)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u (0;0; – 3)$ có phương trình tham số là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2}\
{y = 1}\
{z = 2 – 3t}
end{array}} right..$
Đường thẳng này không có phương trình chính tắc.
e) Đường thẳng đi qua $N(3;2;1)$ và vuông góc với mặt phẳng: $2x – 5y + 4 = 0$ nên nó nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $overrightarrow n (2; – 5;0)$ làm vectơ chỉ phương, nên nó có phương trình tham số là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 2t}\
{y = 2 – 5t}\
{z = 1}
end{array}} right..$
Đường thẳng này không có phương trình chính tắc.
g) Đường thẳng đi qua $P(2;3; – 1)$ và $Q(1;2;4)$ sẽ nhận $overrightarrow {PQ} ( – 1; – 1;5)$ làm vectơ chỉ phương, nên có phương trình tham số là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t}\
{y = 3 – t}\
{z = – 1 + 5t}
end{array}} right.$ và có phương trình chính tắc là $frac{{x – 2}}{{ – 1}} = frac{{y – 3}}{{ – 1}} = frac{{z + 1}}{5}.$

Bài 25. Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:
a) Đường thẳng đi qua điểm $(4;3;1)$ và song song với đường thẳng có phương trình: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\
{y = – 3t}\
{z = 3 + 2t}
end{array}} right..$
b) Đường thẳng đi qua điểm $( – 2;3;1)$ và song song với đường thẳng có phương trình: $frac{{x – 2}}{2} = frac{{y + 1}}{1} = frac{{z + 2}}{3}.$

Lời giải:
a) Vì hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương nên đường thẳng cần tìm đi qua điểm $(4;3;1)$ và nhận vectơ chỉ phương của đường thẳng đã cho là $overrightarrow u = (2; – 3;2)$ làm vectơ chỉ phương.
Vậy đường thẳng đó có phương trình tham số là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4 + 2t}\
{y = 3 – 3t}\
{z = 1 + 2t}
end{array}} right.$ và có phương trình chính tắc là: $frac{{x – 4}}{2} = frac{{y – 3}}{{ – 3}} = frac{{z – 1}}{2}.$
b) Tương tự câu a, ta có đường thẳng đi qua $( – 2;3;1)$ và song song với đường thẳng: $frac{{x – 2}}{2} = frac{{y + 1}}{1} = frac{{z + 2}}{3}$ có phương trình tham số là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 + 2t}\
{y = 3 + t}\
{z = 1 + 3t}
end{array}} right.$ và có phương trình chính tắc là: $frac{{x + 2}}{2} = frac{{y – 3}}{1} = frac{{z – 1}}{3}.$

Bài 26. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng $(d):$ $frac{{x – 1}}{2} = frac{{y + 2}}{3} = frac{{z – 3}}{1}$ trên mỗi mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:
Cách 1.
Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d$ và $(P)$ vuông góc với $mp(Oxy).$ Khi đó hình chiếu vuông góc của $d$ lên $mp(Oxy)$ chính là giao tuyến của $(P)$ với $mp(Oxy).$
$mp(P)$ đi qua ${M_0}(1; – 2;3) in d$ và nhận $vec n = left[ {overrightarrow u ,overrightarrow k } right]$ làm vectơ pháp tuyến, với $overrightarrow u (2;3;1)$ là vectơ chỉ phương của $d$ và $overrightarrow k = (0;0;1)$ là vectơ pháp tuyến của $mp(Oxy)$, từ đó ta tính được $vec n = (3; – 2;0).$
Vậy phương trình của $(P)$ là: $3(x – 1) – 2(y + 2) = 0$ $ Leftrightarrow 3x – 2y – 7 = 0.$
Mà $mp(Oxy)$ có phương trình là: $z = 0$ nên phương trình hình chiếu của $(d)$ lên $mp(Oxy)$ là: $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{3x – 2y – 7 = 0}\
{z = 0}
end{array}} right..$
Cách 2. Đường thẳng $d:$ $frac{{x – 1}}{2} = frac{{y + 2}}{3} = frac{{z – 3}}{1}$ đi qua điểm ${M_0} = (1; – 2;3)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = (2;3;1).$ Nếu chiếu vuông góc lên $mp(Oxy)$ thì ta có:
Điểm ${M_0} = (1; – 2;3)$ biến thành điểm ${M_1} = (1; – 2;0).$
Vectơ $overrightarrow u (2;3;1)$ biến thành vectơ $overrightarrow {{u_1}} (2;3;0).$
Nên hình chiếu của $d$ lên $mp(Oxy)$ có phương trình là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\
{y = – 2 + 3t}\
{z = 0}
end{array}} right..$
Tương tự, hình chiếu của $d$ lên $mp(Oxz)$ có phương trình là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\
{y = 0}\
{z = 3 + t}
end{array}} right..$
Hình chiếu của $d$ lên $mp(Oyz)$ có phương trình là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\
{y = – 2 + 3t}\
{z = 3 + t}
end{array}} right..$

Bài 27. Cho đường thẳng $d:$ $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\
{y = 8 + 4t}\
{z = 3 + 2t}
end{array}} right.$ và mặt phẳng $(P):$ $x + y + z – 7 = 0.$
a) Tìm một vectơ chỉ phương của $d$ và một điểm nằm trên $d.$
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua $d$ và vuông góc với $mp(P).$
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của $d$ trên $mp(P).$

Lời giải:
a) Đường thẳng $d$ đi qua ${M_0}(0;8;3)$ và có vectơ chỉ phương là $overrightarrow u = (1;4;2).$
b) Mặt phẳng đi qua $d$ và vuông góc với $mp(P)$ là mặt phẳng đi qua ${M_0}(0;8;3) in d$ và nhận $overrightarrow n = [overrightarrow u ,overrightarrow {{n_1}} ]$ làm vectơ pháp tuyến, trong đó $overrightarrow u = (1;4;2)$ là chỉ phương của $d$, $overrightarrow {{n_1}} = (1;1;1)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$ ta tính được $overrightarrow n = (2;1; – 3)$ nên mặt phẳng cần tìm có phương trình là: $2(x – 0) + (y – 8) – 3(z – 3) = 0$ $ Leftrightarrow 2x + y – 3z + 1 = 0.$
c) Hình chiếu vuông góc của $d$ lên $mp(P)$ là giao tuyến của $mp(P)$ và $mp(Q)$ chứa $d$ và vuông góc với $mp(P).$ Theo câu b, ta có $mp(Q)$ có phương trình: $2x + y – 3z + 1 = 0.$ Vậy phương trình hình chiếu của $d$ lên $mp(P)$ là:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{2x + y – 3z + 1 = 0}\
{x + y + z – 7 = 0}
end{array}} right.$ hay $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 8 + 4t}\
{y = 15 – 5t}\
{z = t}
end{array}} right..$

Bài 28. Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng $d$ và $d’$ cho bởi phương trình:
a) $d:frac{{x – 1}}{2} = y – 7 = frac{{z – 3}}{4}$ và $d’:frac{{x – 3}}{6} = frac{{y + 1}}{{ – 2}} = frac{{z + 2}}{1}.$
b) $d:left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\
{y = – 3 – 4t}\
{z = – 3 – 3t}
end{array}} right.$ và $d’$ là giao tuyến của hai mặt phẳng: ${(alpha ):x + y – z = 0}$, ${left( {alpha ‘} right):2x – y + 2z = 0.}$

Lời giải:
a) Đường thẳng $(d)$ đi qua ${M_0}(1;7;3)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = (2;1;4)$, đường thẳng $(d’)$ đi qua ${M_0}'(3; – 1; – 2)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow {u’} = (6; – 2;1).$
Nên ta tính được $[overrightarrow u ,overrightarrow {u’} ].overrightarrow {{M_0}{M_0}’} = – 108 ne 0.$
Vậy $d$ và $d’$ chéo nhau.
b) Thay $x$, $y$, $z$ ở phương trình tham số của $d$ vào phương trình $(alpha )$ ta được: $t – 3 – 4t + 3 + 3t = 0$ $ Leftrightarrow 0 = 0$ (đúng với mọi $t$).
Vậy $d subset (alpha )$ $(1).$
Thay $x$, $y$, $z$ ở phương trình tham số của $d$ vào phương trình $left( {alpha ‘} right)$ ta được:
$2t + 3 + 4t – 6 – 6t = 0$ $ Leftrightarrow – 3 = 0$ (vô nghiệm).
Vậy $d//left( {alpha ‘} right)$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra: $d // d’.$
Cách khác:
Vì $d’ = (alpha ) cap left( {alpha ‘} right)$ nên ta tìm được điểm ${M_0}'(0;0;0) in d’$ và $overrightarrow {u’} = (1; – 4; – 3)$ là một vectơ chỉ phương của $d’.$
Đường thẳng $d$ đi qua ${M_0}(0; – 3; – 3)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = (1; – 4; – 3)$ nên ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right] = vec 0}\
{left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {{M_0}{M_0}’} } right] ne vec 0}
end{array}} right.$ suy ra $d//d’.$

Bài 29. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A(1; – 1;1)$ và cắt cả hai đường thẳng sau đây: $d:left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\
{y = t}\
{z = 3 – t}
end{array}} right.$; $d’:left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = t’}\
{y = – 1 – 2t’}\
{z = 2 + t’}
end{array}} right..$

Lời giải:
Gọi $Delta $ là đường thẳng cần tìm, ta có $Delta = (P) cap (Q)$; trong đó $(P)$ chứa $A$ và $d$ và $(Q)$ chứa $A$ và $d’.$ Đường thẳng $d$ đi qua ${M_0}(1;0;3)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = (2;1; – 1)$ nên $mp(P)$ đi qua $A(1; -1; 1)$ và nhận $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {{M_0}A} } right] = ( – 3;4; – 2)$ làm vectơ pháp tuyến, suy ra $mp(P)$ có phương trình:
$ – 3x + 4y – 2z + 9 = 0.$
Tương tự $mp(Q)$ có phương trình: $x + y + z – 1 = 0.$
Vậy phương trình của $Delta $ là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{ – 3x + 4y – 2z + 9 = 0}\
{x + y + z – 1 = 0}
end{array}} right.$ hay $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 6t}\
{y = – 1 – t}\
{z = 1 + 7t}
end{array}} right..$

Bài 30. Viết phương trình đường thẳng song song với ${d_1}$ và cắt cả hai đường thẳng ${d_2}$ và ${d_3}$, biết phương trình của ${d_1}$, ${d_2}$ và ${d_3}$ là:
${d_{1:}}left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\
{y = – 2 + 4t}\
{z = 1 – t}
end{array}} right.$; ${d_2}:frac{{x – 1}}{1} = frac{{y + 2}}{4} = frac{{z – 2}}{3}$; ${d_3}:left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 4 + 5t’}\
{y = – 7 + 9t’}\
{z = t’}
end{array}} right..$

Lời giải:
Gọi $Delta $ là đường thẳng cần tìm, thì $Delta = (P) cap (Q)$, trong đó $(P)$ là mặt phẳng chứa ${d_2}$ và $(P)//{d_1}$, $(Q)$ là mặt phẳng chứa ${d_3}$ và $(Q)//{d_1}.$
${d_1}$, ${d_2}$, ${d_3}$ lần lượt có các vectơ chỉ phương là: $overrightarrow {{u_1}} = (0;4; – 1)$, $overrightarrow {{u_2}} = (1;4;3)$, $overrightarrow {{u_3}} = (5;9;1).$
Ta viết được phương trình $mp(P)$ là: $16x – y – 4z – 10 = 0$, phương trình $mp(Q)$ là: $13x – 5y – 20z + 17 = 0.$
Vậy phương trình của $Delta $ là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{16x – y – 4z – 10 = 0}\
{13x – 5y – 20z + 17 = 0}
end{array}} right..$
Hay $Delta $ có phương trình tham số là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\
{y = – 2 + 4t}\
{z = 2 – t}
end{array}} right..$

Bài 31. Cho hai đường thẳng: ${d_1}:left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 8 + t}\
{y = 5 + 2t}\
{z = 8 – t}
end{array}} right.$ và ${d_2}:frac{{3 – x}}{7} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z – 1}}{3}.$
a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $O$ và song song với ${d_1}$ và ${d_2}.$
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}.$
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Lời giải:
a) Đường thẳng $left( {{d_1}} right)$ đi qua ${M_1}(8;5;8)$ và có vectơ chỉ phương là $overrightarrow {{u_1}} = (1;2; – 1).$
Đường thẳng $left( {{d_2}} right)$ đi qua ${M_2}(3;1;1)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow {{u_2}} = ( – 7;2;3).$
Ta có $left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } right] = (8;4;16)$, $overrightarrow {{M_2}{M_1}} = (5;4;7)$ nên $left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } right].overrightarrow {{M_2}{M_1}} = 168 ne 0$, suy ra ${d_1}$ và ${d_2}$ chéo nhau (điều phải chứng minh).
b) Mặt phẳng đi qua $O(0;0;0)$ và song song với ${d_1}$ và ${d_2}$ sẽ nhận vectơ $left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } right] = (8;4;16)$ làm vectơ pháp tuyến, nên phương trình của mặt phẳng đó là: $8(x – 0) + 4(y – 0) + 16(z – 0) = 0$ $ Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0.$
c) Khoảng cách giữa ${d_1}$ và ${d_2}$ là:
$h = frac{{left| {[overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} ].overrightarrow {{M_2}{M_1}} } right|}}{{left| {[overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} ]} right|}}$ $ = frac{{168}}{{sqrt {64 + 16 + 256} }} = 2sqrt {21} $ (dựa theo câu a).

Bài 32. Cho đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(alpha )$ có phương trình: $(d):frac{{x – 2}}{2} = frac{{y + 1}}{3} = frac{{z – 1}}{5}$; $(alpha ):2x + y + z – 8 = 0.$
a) Tìm góc giữa $d$ và $(alpha ).$
b) Tìm tọa độ giao điểm của $d$ và $(alpha ).$
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của $(d)$ trên $(alpha ).$

Lời giải:
a) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $overrightarrow u = (2;3;5).$
Mặt phẳng $(alpha )$ có vectơ pháp tuyến là $overrightarrow n = (2;1;1).$
Ta có $sin (d,(alpha )) = |cos (overrightarrow u ,overrightarrow n )|$ $ = frac{{|overrightarrow u .overrightarrow n |}}{{|overrightarrow u |.|overrightarrow n |}}$ $ = frac{{4 + 3 + 5}}{{sqrt {38} .sqrt 4 }} = frac{6}{{sqrt {38} }}.$
b) Tọa độ giao điểm của $d$ và $(alpha )$ là nghiệm của hệ:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{{x – 2}}{2} = frac{{y + 1}}{3} = frac{{z – 1}}{5}}\
{2x + y + z – 8 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{{x – 2}}{2} = frac{{y + 1}}{3}}\
{frac{{y + 1}}{3} = frac{{z – 1}}{5}}\
{2x + y + z – 8 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{3x = 2y + 8}\
{3z = 5y + 8}\
{2x + y + z – 8 = 0}
end{array}} right.$ $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{8}{3}}\
{y = 0}\
{z = frac{8}{3}}
end{array}} right..$
Vậy $d$ cắt $(alpha )$ tại $M = left( {frac{8}{3};0;frac{8}{3}} right).$
c) Hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(alpha )$ là đường thẳng đi qua giao điểm $Mleft( {frac{8}{3};0;frac{8}{3}} right)$ của $d$ và $(alpha )$ và nhận vectơ: $left[ {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow n } right],overrightarrow n } right]$ làm vectơ chỉ phương, trong đó $overrightarrow u = (2;3;5)$ là vectơ chỉ phương của $(d)$, $overrightarrow n = (2;1;1)$ là vectơ pháp tuyến của $(alpha ).$
Ta tính được $[overrightarrow u ,overrightarrow n ] = ( – 2;8; – 4)$, $[[overrightarrow u ,overrightarrow n ],overrightarrow n ] = (12; – 6; – 18).$
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{8}{3} + 12t}\
{y = – 6t}\
{z = frac{8}{3} – 18t}
end{array}} right..$

Bài 33. Cho đường thẳng $Delta $ và $mp(P)$ có phương trình:
$Delta :frac{{x – 1}}{1} = frac{{y – 2}}{2} = frac{{z – 3}}{2}$; $(P):2x + z – 5 = 0.$
a) Xác định tọa độ giao điểm $A$ của $Delta $ và $(P).$
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua $A$, nằm trong $(P)$ và vuông góc νới $Delta .$

Lời giải:
a) Tọa độ giao điểm $A$ của $Delta $ và $(P)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{{x – 1}}{1} = frac{{y – 2}}{2} = frac{{z – 3}}{2}}\
{2x + z – 5 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{{x – 1}}{1} = frac{{y – 2}}{2}}\
{frac{{y – 2}}{2} = frac{{z – 3}}{2}}\
{2x + z – 5 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{y = 2x}\
{z = y + 1}\
{2x + (y + 1) – 5 = 0}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{y = 2x}\
{z = y + 1}\
{2x + 2x – 4 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{y = 2}\
{z = 3}\
{x = 1}
end{array}} right..$
Vậy $A = (1;2;3).$
b) Đường thẳng đi qua $A(1;2;3)$, nằm trong $(P)$ và vuông góc với $Delta $ có vectơ chỉ phương là $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow n } right]$, trong đó: $overrightarrow u = (1;2;2)$ là vectơ chỉ phương của $Delta $; $overrightarrow n = (2;0;1)$ là vectơ pháp tuyến của $(alpha ).$ Ta tính được $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow n } right] = (2;3; – 4).$
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $frac{{x – 1}}{2} = frac{{y – 2}}{3} = frac{{z – 3}}{{ – 4}}.$

Bài 34.
a) Tính khoảng cách từ điểm $M(2;3;1)$ đến đường thẳng $Delta $ có phương trình: $d:frac{{x + 2}}{1} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z + 1}}{{ – 2}}.$
b) Tính khoảng cách từ điểm $N(2;3; – 1)$ đến đường thẳng $d$ đi qua điểm ${M_0}left( { – frac{1}{2};0; – frac{3}{4}} right)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = ( – 4;2; – 1).$

Lời giải:
a) Đường thẳng $(d):frac{{x + 2}}{1} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z + 1}}{{ – 2}}$ đi qua ${M_0}( – 2;1; – 1)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = (1;2; – 2).$
Khoảng cách từ $M(2;3;1)$ đến đường thẳng $(d)$ là:
$h = d(M,d) = frac{{left| {left[ {overrightarrow {M{M_0}} ,overrightarrow u } right]} right|}}{{|overrightarrow u |}}.$
Với $overrightarrow {M{M_0}} = ( – 4; – 2; – 2)$ nên $left[ {overrightarrow {M{M_0}} ,overrightarrow u } right] = (8; – 10; – 6).$
Suy ra $d(M,d) = frac{{sqrt {64 + 100 + 36} }}{{sqrt {1 + 4 + 4} }}$ $ = frac{{sqrt {200} }}{{sqrt 9 }} = frac{{10sqrt 2 }}{3}.$
b) Ta có $overrightarrow {N{M_0}} = left( { – frac{5}{2}; – 3;frac{1}{4}} right)$ $ Rightarrow left[ {overrightarrow {N{M_0}} ,overrightarrow u } right] = left( {frac{5}{2}; – frac{7}{2}; – 17} right).$
Khoảng cách từ $N$ đến đường thẳng $d$ đi qua ${M_0}$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u $ là $d = d(N,d)$ $ = frac{{left| {left[ {overrightarrow {N{M_0}} ,overrightarrow u } right]} right|}}{{|overrightarrow u |}}$ $ = frac{{sqrt {frac{{25}}{4} + frac{{49}}{4} + 289} }}{{sqrt {16 + 4 + 1} }}$ $ = frac{{sqrt {1230} }}{{2sqrt {21} }} = frac{{sqrt {2870} }}{{14}}.$

Bài 35. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:
a) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\
{y = – 1 – t}\
{z = 1}
end{array}} right.$ và $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 3t’}\
{y = – 2 + 3t’}\
{z = 3}
end{array}} right..$
b) $frac{x}{{ – 1}} = frac{{y – 4}}{1} = frac{{z + 1}}{{ – 2}}$ và $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – t’}\
{y = 2 + 3t’}\
{z = – 4 + 3t’}
end{array}.} right.$

Lời giải:
a) Đường thẳng $d:left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\
{y = – 1 – t}\
{z = 1}
end{array}} right.$ đi qua $M(1; – 1;1)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow n = (1; – 1;0).$
Đường thẳng $d’:left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 3t’}\
{y = – 2 + 3t’}\
{z = 3}
end{array}} right.$ đi qua $M'(2; – 2;3)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow {n’} = ( – 3;3;0)$ nên ta thấy $d//d’.$
Vậy khoảng cách giữa $d$ và $d’$ là khoảng cách từ $M(1; – 1;1) in d$ đến đường thẳng $d’$ và bằng: $frac{{left| {left[ {overrightarrow {MM’} ,overrightarrow {n’} } right]} right|}}{{overrightarrow {n’} }}.$
Ta có $overrightarrow {MM’} = (1; – 1;2)$, suy ra $[overrightarrow {MM’} ,overrightarrow {n’} ] = ( – 6; – 6;0).$
Vậy khoảng cách cần tìm là: $frac{{left| {left[ {overrightarrow {MM’} ,overrightarrow {n’} } right]} right|}}{{left| {overrightarrow {n’} } right|}}$ $ = frac{{sqrt {36 + 36} }}{{sqrt {9 + 9} }} = 2.$
b) Đường thẳng $d:frac{x}{{ – 1}} = frac{{y – 4}}{1} = frac{{z + 1}}{{ – 2}}$ đi qua $M(0;4; – 1)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u ( – 1;1; – 2).$
Đường thẳng $d’:left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – t’}\
{y = 2 + 3t’}\
{z = – 4 + 3t’}
end{array}} right.$ đi qua $M'(0;2; – 4)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow {u’} = ( – 1;3;3).$
Khoảng cách giữa $(d)$ và $(d’)$ là: $h = frac{{left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right].overrightarrow {MM’} } right|}}{{left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right]} right|}}$ $ = frac{{2sqrt {110} }}{{55}}.$

Be the first to comment

Leave a Reply

Your email address will not be published.


*