Tìm điều kiện để phương trình f(x) = g(m) có n nghiệm

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm điều kiện để phương trình f(x) = g(m) có n nghiệm trong chương trình Giải tích 12: ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Để phương trình $f(x) = g(m)$ có $n$ nghiệm thực chất ta chuyển đổi về bài toán tường giao giữa đồ thị hàm số $y = f(x)$ với đường thẳng $g(m).$
Số giao điểm phân biệt của đồ thị hàm số $y = f(x)$ với đường thẳng $g(m)$ chính là số nghiệm phân biệt của phương trình $f(x) = g(m).$
Xét bài toán: Tìm $m$ để phương trình $f(x;m) = 0$ có nghiệm $x in D.$
+ Bước 1: Thực hiện cô lập $m$ để đưa về dạng $f(x) = g(m).$
+ Bước 2: Khảo sát và vẽ bảng biến thiên hàm số $f(x)$ trên $D.$
+ Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận điều kiện cần tìm.
Chú ý:
+ Nếu tồn tại $mathop {max }limits_D f(x)$, $mathop {min }limits_D f(x)$ và yêu cầu bài toán chỉ là tìm $m$ để phương trình $f(x;m) = 0$ có nghiệm thì ta có thể sử dụng luôn điều kiện: Phương trình bài ra có nghiệm khi và chỉ khi $mathop {min }limits_D f(x) le m le mathop {max }limits_D f(x).$
+ Nếu bài toán yêu cầu, tìm điều kiện tham số để phương trình $f(x;m) = 0$ có $n$ nghiệm phân biệt thì ta chỉ cần tìm điều kiện tham số để đường thẳng $g(m)$ cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại $n$ điểm phân biệt.

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình ${x^3} – 2{x^2} + x – m + 5 = 0$ có ba nghiệm phân biệt.

Ta có ${x^3} – 2{x^2} + x – m + 5 = 0$ $ Leftrightarrow {x^3} – 2{x^2} + x + 5 = m.$
Xét hàm số $f(x) = {x^3} – 2{x^2} + x + 5.$
Suy ra $f'(x) = 3{x^2} – 4x + x$, $f'(x) = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\
{x = frac{1}{3}}
end{array}} right..$
Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên suy ra: phương trình bài ra có ba nghiệm phân biệt khi $5 < m < frac{{139}}{{27}}.$

Ví dụ 2. Cho phương trình ${x^4} – 2{x^2} – 2 – 3m = 0.$ Tìm giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.

Ta có: ${x^4} – 2{x^2} – 2 – 3m = 0$ $ Leftrightarrow {x^4} – 2{x^2} – 2 = 3m.$
Xét hàm số $f(x) = {x^4} – 2{x^2} – 2$ có $f'(x) = 4{x^3} – 4x = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\
{x = pm 1}
end{array}} right..$
Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình bài ra có nghiệm khi: $3m ge – 3$ $ Leftrightarrow m ge – 1.$

Ví dụ 3. Cho phương trình ${x^3} – 3mx + 2 = 0.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm trên khoảng $left( {frac{1}{2};2} right).$

Ta có ${x^3} – 3mx + 2 = 0$ $ Leftrightarrow {x^3} + 2 = 3mx$ $ Leftrightarrow 3m = {x^2} + frac{2}{x}.$
Xét hàm số $f(x) = {x^2} + frac{2}{x}$ trên $left( {frac{1}{2};2} right) cdot $ Khi đó $f'(x) = 2x – frac{2}{{{x^2}}} = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$
Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình bài ra có nghiệm trên khoảng $left( {frac{1}{2};2} right)$ khi $3 le 3m < 5$ $ Leftrightarrow 1 le m < frac{5}{3}.$

Ví dụ 4. Cho phương trình ${sin ^2}x + msin x – 2m + 5 = 0.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.

Ta có: ${sin ^2}x + msin x – 2m + 5 = 0$ $ Leftrightarrow {sin ^2}x + 5 = m(2 – sin x).$
Đặt $t = sin x.$ Khi đó ta có $ – 1 le sin x le 1$ nên $t in [ – 1;1].$
Do đó ta có phương trình: ${t^2} + 5 = m(2 – t)$ $ Leftrightarrow frac{{{t^2} + 5}}{{2 – t}} = m.$
Xét hàm số $f(t) = frac{{{t^2} + 5}}{{2 – t}}$ với $t in [ – 1;1].$
Khi đó $f'(t) = frac{{ – {t^2} + 4t + 5}}{{{{(2 – t)}^2}}}$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 1}\
{t = 5::{rm{(loại)}}}
end{array}} right..$
Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình bài ra có nghiệm khi $m in [2;6].$

Ví dụ 5. Cho phương trình $sin x + cos x + 2msin xcos x + 4m – 1 = 0.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.

Đặt $t = sin x + cos x$ $ = sqrt 2 .sin left( {x + frac{pi }{4}} right).$ Khi đó ta có $ – 1 le sin left( {x + frac{pi }{4}} right) le 1$ nên $t in [ – sqrt 2 ;sqrt 2 ].$
Khi đó ${t^2} = 1 + 2sin xcos x$ $ Leftrightarrow 2sin xcos x = {t^2} – 1.$
Do đó ta có phương trình: $t + mleft( {{t^2} – 1} right) + 4m – 1 = 0$ $ Leftrightarrow frac{{1 – t}}{{{t^2} + 3}} = m.$
Xét hàm số $f(t) = frac{{1 – t}}{{{t^2} + 3}}$ với $t in [ – sqrt 2 ;sqrt 2 ].$
Khi đó $f'(t) = frac{{{t^2} – 2t – 3}}{{{{left( {{t^2} + 3} right)}^2}}}$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 1}\
{t = 3::{rm{(loại)}}}
end{array}} right..$
Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình bài ra có nghiệm khi $m in left[ {frac{{1 – sqrt 2 }}{5};frac{1}{2}} right].$

Ví dụ 6. Cho phương trình ${x^2} + m(sqrt {4 – {x^2}} + 1) – 7 = 0.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.

Xét phương trình: ${x^2} + m(sqrt {4 – {x^2}} + 1) – 7 = 0.$
Đặt $t = sqrt {4 – {x^2}} .$ Điều kiện $0 le t le 2.$ Khi đó ${t^2} = 4 – {x^2}$ $ Leftrightarrow {x^2} = 4 – {t^2}.$
Phương trình trở thành: $4 – {t^2} + m(t + 1) – 7 = 0$ $ Leftrightarrow m = frac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}}.$
Xét hàm số $f(t) = frac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}}$ với $t in [0;2].$
Suy ra $f'(t) = frac{{{t^2} + 2t – 3}}{{{{(t + 1)}^2}}} = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\
{t = – 3::{rm{(loại)}}}
end{array}} right..$
Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số thì để phương trình bài ra có nghiệm thì $2 le m le 3.$

Ví dụ 7. Cho phương trình $m(sqrt {x – 1} + sqrt {4 – x} )$ $ + 2sqrt { – {x^2} + 5x – 4} – 7 = 0.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.

Nhận xét: $ – {x^2} + 5x – 4 = (x – 1)(4 – x).$
Đặt $t = sqrt {x – 1} + sqrt {4 – x} .$
Xét hàm số $t(x) = sqrt {x – 1} + sqrt {4 – x} $ với $x in [1;4].$
Ta có $t'(x) = frac{1}{{2sqrt {x – 1} }} – frac{1}{{2sqrt {4 – x} }}$ $ = frac{{sqrt {4 – x} – sqrt {x – 1} }}{{2sqrt {x – 1} .sqrt {4 – x} }} = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{5}{2}.$
Bảng biến thiên hàm số $t(x):$

Do đó với $x in [1;4]$ thì $t in [sqrt 3 ;sqrt 6 ].$
Khi đó ta có $t = sqrt {x – 1} + sqrt {4 – x} $ $ Rightarrow {t^2} = 3 – 2sqrt { – {x^2} + 5x – 4} .$
$ Rightarrow 2sqrt { – {x^2} + 5x – 4} = 3 – {t^2}.$
Phương trình ban đầu trở thành: $mt + 3 – {t^2} – 7 = 0$ $ Leftrightarrow m = t + frac{4}{t}.$
Xét hàm số $f(t) = t + frac{4}{t}$ với $t in [sqrt 3 ;sqrt 6 ].$
Suy ra $f'(t) = 1 – frac{4}{{{t^2}}} = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2}\
{t = – 2::{rm{(loại)}}}
end{array}} right..$
Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số thì để phương trình bài ra có nghiệm thì $4 le m le frac{{10}}{{sqrt 6 }}.$

Ví dụ 8. Cho phương trình $2{x^3} – 3{x^2} + 2m – 1 = 0.$ Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt trên đoạn $[-2;4].$

Ta có $2{x^3} – 3{x^2} + 2m – 1 = 0$ $ Leftrightarrow 2m = – 2{x^3} + 3{x^2} + 1.$
Xét hàm số $f(x) = – 2{x^3} + 3{x^2} + 1$ trên đoạn $[ – 2;4].$
Khi đó $f'(x) = – 6{x^2} + 6x = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\
{x = 1}
end{array}} right..$
Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình bài ra có ba nghiệm phân biệt khi $1 < 2m < 2$ $ Leftrightarrow frac{1}{2} < m < 1.$

Ví dụ 9. Cho phương trình $4{sin ^2}x – (m + 4)sin x – 2m + 1 = 0.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình đã cho có đúng bốn nghiệm phân biệt trên đoạn $[0;pi ].$

Đặt $t = sin x.$ Xét hàm số $t(x) = sin x$ với $x in [0;pi ].$
Khi đó $t’ = cos x$, $t’ = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{2}.$
Ta có bảng biến thiên hàm số $t(x):$

Từ bảng biến thiên, ta thấy với $x in [0;pi ]$ thì $t in [0;1].$ Và mỗi $t in [0;1)$ thì cho ta hai nghiệm $x in [0;pi ].$
Phương trình bài ra trở thành:
${t^2} – (m + 4)t – 2m + 1 = 0$ $ Leftrightarrow 4{t^2} – 4t + 1 = m(2 + t)$ $ Leftrightarrow frac{{4{t^2} – 4t + 1}}{{t + 2}} = m.$
Xét hàm số $f(t) = frac{{4{t^2} – 4t + 1}}{{t + 2}}$ với $t in [0;1].$
Suy ra: $f'(t) = frac{{(2t – 1)(2t + 9)}}{{{{(t + 2)}^2}}} = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = frac{1}{2}}\
{t = – frac{9}{2}::{rm{(loại)}}}
end{array}} right..$
Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có, phương trình bài ra có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình $f(t) = m$ có hai nghiệm phân biệt $t in [0;1).$ Do đó $0 < m < frac{1}{3}.$

Ví dụ 10. Cho phương trình $ – {m^3}{x^6} + {x^3} + 3(1 – m){x^2} + 6x + 4 = 0.$ Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn $[-3;-1].$

Ta có $ – {m^3}{x^6} + {x^3} + 3(1 – m){x^2} + 6x + 4 = 0$ $ Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 6x + 4 = {m^3}{x^6} + 3m{x^2}.$
$ Leftrightarrow {(x + 1)^3} + 3(x + 1) = {left( {m{x^2}} right)^3} + 3m{x^2}$ $(1).$
Xét hàm số đặc trưng cho phương trình: $f(t) = {t^3} + 3t$ với $t in R.$
Ta có $f'(t) = 3{t^2} + 3 > 0$, $forall t in R.$
Do đó hàm số $f(t)$ liên tục và đồng biến trên $R.$
Từ phương trình $(1)$, ta có: $f(x + 1) = fleft( {m{x^2}} right)$ $ Rightarrow x + 1 = m{x^2}$ $ Leftrightarrow m = frac{{x + 1}}{{{x^2}}}.$
Xét hàm số $g(x) = frac{{x + 1}}{{{x^2}}}$ với $[ – 3; – 1].$
Ta có $g'(x) = frac{{ – {x^2} – 2x}}{{{x^4}}} = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0::{rm{(loại)}}}\
{x = – 2}
end{array}} right..$
Bảng biến thiên của hàm số $g(x):$

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình bài ra có đúng hai nghiệm phân biệt trên $[-3;-1]$ khi $m in left[ { – frac{1}{4}; – frac{2}{9}} right].$

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1. Cho phương trình ${x^3} – {x^2} – 5x – m + 1 = 0.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình bài ra có $3$ nghiệm phân biệt.
A. $m in ( – 8; – 6).$
B. $m in left( { – 6;frac{{ – 148}}{{27}}} right).$
C. $m in left( {frac{{ – 148}}{{27}};4} right).$
D. $m in (4;5).$

Ta có ${x^3} – {x^2} – 5x – m + 1 = 0$ $ Leftrightarrow m = {x^3} – {x^2} – 5x + 1.$
Xét hàm số $f(x) = {x^3} – {x^2} – 5x + 1.$
Suy ra: $f'(x) = 3{x^2} – 2x – 5 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}\
{x = frac{5}{3}}
end{array}} right..$
Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số, ta thấy phương trình bài ra có ba nghiệm phân biệt khi $frac{{ – 148}}{{27}} < m < 4.$
Chọn đáp án C.

Bài 2. Cho phương trình $frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} + m – frac{5}{4} = 0.$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình bài ra có $4$ nghiệm phân biệt.
A. $left( { – 3; – frac{5}{4}} right].$
B. $left( { – frac{5}{4}; + infty } right).$
C. $( – 4; – 3).$
D. $left( {frac{5}{4};3} right).$

Ta có $frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} + m – frac{5}{4} = 0$ $ Leftrightarrow frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} – frac{5}{4} = – m.$
Xét hàm số $f(x) = frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} – frac{5}{4}.$
Suy ra $f'(x) = {x^3} – 4x = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\
{x = pm 2}
end{array}} right..$
Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy phương trình bài ra có $4$ nghiệm phân biệt khi $ – m in left( { – 3; – frac{5}{4}} right)$ $ Leftrightarrow m in left( {frac{5}{4};3} right).$
Chú ý: Bài toán này ta có thể đặt ẩn phụ $t = {x^2}$ đưa về biện luận dạng phương trình bậc hai: $frac{1}{4}{t^2} – 2t + m – frac{5}{4} = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt thì kết quả đáp số thu được vẫn giống như trên.
Chọn đáp án D.

Bài 3. Tìm tất cả điều kiện của tham số $m$ để phương trình $x + 3 = msqrt {{x^2} + 1} $ có hai nghiệm phân biệt.
A. $( – 2; – 1).$
B. $(1;sqrt {10} ).$
C. $( – 1;1).$
D. $(3;5).$

Ta có $x + 3 = msqrt {{x^2} + 1} $ $ Leftrightarrow m = frac{{x + 3}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}.$
Xét hàm số $f(x) = frac{{x + 3}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}.$
Suy ra: $f'(x) = frac{{1 – 3x}}{{left( {{x^2} + 1} right)sqrt {{x^2} + 1} }} = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{1}{3}.$
Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình bài ra có hai nghiệm phân biệt khi $m in (1;sqrt {10} ).$
Chọn đáp án B.

Bài 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $2{sin ^2}x – (m + 3)sin x + 2m – 1 = 0$ có nghiệm.
A. $4.$
B. $3.$
C. $2.$
D. $6.$

Đặt $t = sin x$ với $t in [ – 1;1].$
Ta có phương trình:
$2{t^2} – (m + 3)t + 2m – 1 = 0$ $ Leftrightarrow 2{t^2} – 3t – 1 = m(t – 2)$ $ Leftrightarrow frac{{2{t^2} – 3t – 1}}{{t – 2}} = m.$
Xét hàm số $f(t) = frac{{2{t^2} – 3t – 1}}{{t – 2}}$ với $t in [ – 1;1].$
Suy ra: $f'(t) = frac{{2{t^2} – 8t + 7}}{{{{(t – 2)}^2}}} = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = frac{{4 + sqrt 2 }}{2}::{rm{(loại)}}}\
{t = frac{{4 – sqrt 2 }}{2}::{rm{(loại)}}}
end{array}} right..$
Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình có nghiệm khi $m in left[ { – frac{4}{3};2} right].$ Do đó có các giá trị nguyên của $m$ là: $-1$, $0$, $1$, $2.$ Có bốn giá trị thỏa mãn đề bài.
Chọn đáp án A.

Bài 5. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $m(sqrt {x – 1} + sqrt {2 – x} )$ $ + 2sqrt { – {x^2} + 3x – 2} – 5 = 0$ có nghiệm.
A. $3.$
B. $12.$
C. $9.$
D. $7.$

Đặt $t = sqrt {x – 1} + sqrt {2 – x} .$
Xét hàm số $t(x) = sqrt {x – 1} + sqrt {2 – x} $ với $x in [1;2].$
Ta có $t'(x) = frac{1}{{2sqrt {x – 1} }} – frac{1}{{2sqrt {2 – x} }}$, $t'(x) = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{3}{2}.$
Bảng biến thiên của hàm số $t(x):$

Từ bảng biến thiên của hàm số $t(x)$ ta có $t in [1;sqrt 2 ].$
Khi đó $t = sqrt {x – 1} + sqrt {2 – x} $ $ Rightarrow {t^2} = 1 + 2sqrt { – {x^2} + 3x – 2} $ $ Leftrightarrow 2sqrt { – {x^2} + 3x – 2} = {t^2} – 1.$
Phương trình trở thành: $mt + {t^2} – 1 – 5 = 0$ $ Leftrightarrow m = – t + frac{6}{t}$ $(1).$
Xét hàm số $f(t) = – t + frac{6}{t}$ với $t in [1;sqrt 2 ].$ Ta có $f'(t) = – 1 – frac{6}{{{t^2}}} < 0$, $forall t in [1;sqrt 2 ].$
Phương trình $(1)$ có nghiệm khi:
$mathop {min }limits_{_{[1;sqrt 2 ]}} f(t) le m le mathop {max }limits_{_{[1;sqrt 2 ]}} f(t)$ $ Leftrightarrow f(sqrt 2 ) le m le f(1)$ $ Leftrightarrow 2sqrt 2 le m le 5.$
Mà $m in Z$ $ Rightarrow m in { 3;4;5} .$
Vậy tổng các giá trị $m$ nguyên cần tìm là $S = 3+4+5=12.$
Chọn đáp án B.

Bài 6. Biết tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $2x + 2 = sqrt {{x^2} + 2x + m} $ có nghiệm có dạng $S = [a; + infty ).$ Hỏi giá trị $a$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $left( {frac{{ – 3}}{2};frac{1}{2}} right).$
B. $left( {frac{3}{2};frac{5}{2}} right).$
C. $left( {frac{5}{2};frac{7}{2}} right).$
D. $left( {frac{1}{2};frac{3}{2}} right).$

Ta có $2x + 2 = sqrt {{x^2} + 2x + m} $ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{(2x + 2)}^2} = {x^2} + 2x + m::(1)}\
{x ge – 1}
end{array}} right..$
Khi đó ta có $(1) Leftrightarrow m = 3{x^2} + 6x + 4.$
Xét hàm số $f(x) = 3{x^2} + 6x + 4$ với $x ge – 1.$
Suy ra: $f'(x) = 6x + 6 ge 0$, $forall x in [ – 1; + infty ).$
Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số, suy ra phương trình bài ra có nghiệm khi $m in [1; + infty ).$ Do đó $a = 1 in left( {frac{1}{2};frac{3}{2}} right).$
Chọn đáp án D.

Bài 7. Biết tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${x^4} – 4{x^3} + 4{x^2} – m + 5 = 0$ có đúng $4$ nghiệm phân biệttrên đoạn $[-2;3]$ là $S = (a;b).$ Tính tổng $T = a+b.$
A. $T = 74.$
B. $T = 19.$
C. $T =11.$
D. $T =20.$

Ta có ${x^4} – 4{x^3} + 4{x^2} – m + 5 = 0$ $ Leftrightarrow {x^4} – 4{x^3} + 4{x^2} + 5 = m.$
Xét hàm số $f(x) = {x^4} – 4{x^3} + 4{x^2} + 5$ với $x in [ – 2;3].$
Ta có $f'(x) = 4{x^3} – 12{x^2} + 8x = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\
{x = 1}\
{x = 2}
end{array}} right..$
Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình bài ra có đúng bốn nghiệm phân biệt khi $m in (5;6).$ Do đó $T = 5 + 6 = 11.$
Chọn đáp án C.

Bài 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $x + 2sqrt {1 – {x^2}} = m$ có hai nghiệm phân biệt.
A. $0.$
B. $2.$
C. $1.$
D. $3.$

Ta có $x + 2sqrt {1 – {x^2}} = m$, điều kiện $x in [ – 1;1].$
Xét hàm số $f(x) = x + 2sqrt {1 – {x^2}} $ với $x in [ – 1;1].$ Suy ra: $f'(x) = 1 – frac{{2x}}{{sqrt {1 – {x^2}} }}.$
Khi đó: $f'(x) = 0$ $ Leftrightarrow sqrt {1 – {x^2}} = 2x$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x ge 0}\
{1 – {x^2} = 4{x^2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow x = frac{1}{{sqrt 5 }}.$
Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số, suy ra phương trình bài ra có hai nghiệm phân biệt khi $m in (1;sqrt 5 ).$ Mà $m in Z$ $ Rightarrow m = 2.$
Chọn đáp án C.

Bài 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${x^6} + 6{x^4} – {m^3}{x^3}$ $ + left( {15 – 3{m^2}} right){x^2} – 6mx + 10 = 0$ có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc $left[ {frac{1}{2};2} right].$
A. $frac{7}{5} le m < 3.$
B. $0 < m < frac{9}{4}.$
C. $2 < m le frac{5}{2}.$
D. $frac{{11}}{5} < m < 4.$

Ta có ${x^6} + 6{x^4} – {m^3}{x^3}$ $ + left( {15 – 3{m^2}} right){x^2} – 6mx + 10 = 0.$
$ Leftrightarrow {left( {{x^2} + 2} right)^3} + 3left( {{x^2} + 2} right)$ $ = {(mx + 1)^3} + 3(mx + 1)$ $(1).$
Xét hàm số đặc trưng cho phương trình: $f(t) = {t^3} + 3t.$
Ta có $f'(t) = 3{t^2} + 3 > 0$, $forall t in R$ nên hàm số $f(t)$ liên tục và đồng biến trên $R.$
$(1) Leftrightarrow fleft( {{x^2} + 2} right) = f(mx + 1)$ $ Leftrightarrow {x^2} + 2 = mx + 1$ $ Leftrightarrow {x^2} – mx + 1 = 0$ $ Leftrightarrow m = frac{{{x^2} + 1}}{x}.$
Xét hàm số $g(x) = frac{{{x^2} + 1}}{x}$ trên $left[ {frac{1}{2};2} right].$ Ta có $g'(x) = 1 – frac{1}{{{x^2}}}$ $ Rightarrow g'(x) = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc $left[ {frac{1}{2};2} right]$ khi và chỉ khi $2 < m le frac{5}{2}.$
Chọn đáp án C.

Bài 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $sqrt[3]{{m + 3sqrt[3]{{m + 3sin x}}}} = sin x$ có nghiệm thực?
A. $5.$
B. $2.$
C. $4.$
D. $3.$

Ta có $sqrt[3]{{m + 3sqrt[3]{{m + 3sin x}}}} = sin x$ $ Leftrightarrow m + 3sqrt[3]{{m + 3sin x}} = {sin ^3}x.$
$ Leftrightarrow (m + 3sin x) + 3sqrt[3]{{m + 3sin x}}$ $ = {sin ^3}x + 3sin x$ $(1).$
Xét hàm số đặc trưng cho phương trình $(1)$, ta có:
$f(t) = {t^3} + 3t$ với $t in R$, $f'(t) = 3{t^2} + 3 > 0$ với mọi $t in R.$
Do đó hàm số $f(t)$ liên tục và đồng biến trên $R.$
Ta có $(1) Leftrightarrow f(sqrt[3]{{m + 3sin x}}) = f(sin x)$ $ Leftrightarrow sqrt[3]{{m + 3sin x}} = sin x.$
$ Leftrightarrow m + 3sin x = {sin ^3}x$ $ Leftrightarrow m = {sin ^3}x – 3sin x.$
Đặt $u = sin x$, ta có $g(u) = {u^3} – 3u$, với $u in [ – 1;1].$
$g'(u) = 3{u^2} – 3 = 0$ $ Leftrightarrow u = pm 1.$
Khi đó: $g(1) = – 2$, $g( – 1) = 2.$
Phương trình bài ra có nghiệm khi $mathop {min }limits_{_{[ – 1;1]}} g(u) le m le mathop {max }limits_{_{[ – 1;1]}} g(u)$ $ Leftrightarrow – 2 le m le 2.$
Mà $m in Z$ $ Rightarrow m in { – 2; – 1;0;1;2} .$
Vậy có $5$ giá trị nguyên cần tìm.
Chọn đáp án A.

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình ${x^4} – 2{x^2} – 3m + 1 = 0$ có đúng ba nghiệm phân biệt.
A. $m = frac{1}{3}.$
B. $m in (1;3).$
C. $m in ( – 2;0).$
D. $m = 1.$

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${x^3} – 3x + m – 4 = 0$ có nghiệm $x in [0;3].$
A. $[ – 6;14].$
B. $[ – 14;6].$
C. $[ – 6; – 4].$
D. $[ – 4; + infty ).$

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${x^3} + 3{x^2} – m + 3 = 0$ có nghiệm $x in [ – 3; – 1].$
A. $[3;5].$
B. $[3;7].$
C. $(3; + infty ).$
D. $[5;7].$

Bài 4. Biết tập tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${x^4} – 2{x^2} + 5 – 2m = 0$ có bốn nghiệm phân biệt là $S = (a;b).$ Tính $T = a+b.$
A. $T = frac{{ – 1}}{2}.$
B. $T = frac{3}{2}.$
C. $T = frac{7}{2}.$
D. $T = frac{9}{2}.$

Bài 5. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho phương trình $2{x^3} – (m + 1)x + 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt trên khoảng $(0;3).$
A. $22.$
B. $171.$
C. $156.$
D. $161.$

Bài 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${x^2} – 2x + (m + 2)sqrt {2x – {x^2}} – 2m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt?
A. $1.$
B. $2.$
C. $3.$
D. $0.$

Bài 7. Biết tập tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${sin ^2}x + (2 – m)cos x + 3m = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt trên đoạn $[ – pi ;pi ]$ là $S = [a;b).$ Tính $T = a + b.$
A. $T = – frac{1}{2}.$
B. $T = frac{3}{2}.$
C. $T = – frac{2}{3}.$
D. $T = frac{7}{3}.$

Bài 8. Cho phương trình $sqrt x + sqrt {4 – x} = sqrt {4x – {x^2} + m} .$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
A. $1.$
B. $2.$
C. $4.$
D. $7.$

Bài 9. Cho phương trình:
${sin ^3}xleft( {{{sin }^6}x + 3} right) – {m^3} – 3m$ $ = 27{sin ^3}x + 27m{sin ^2}x + 9left( {1 + {m^2}} right)sin x.$
Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn $left[ { – frac{pi }{6};frac{pi }{2}} right].$
A. $2.$
B. $-1.$
C. $-2.$
D. $0.$

Bài 10. Cho phương trình ${x^3} + 3{x^2} + 6x – 2sqrt {x + m} $ $ = (x + m + 1)sqrt {x + m} – 4.$ Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $S =(a;b].$ Tính tổng $T = 4a + b.$
A. $T =-3.$
B. $T =4.$
C. $T =-2.$
D. $T = 7.$

V. BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. $A.$
2. $B.$
3. $B.$
4. $D.$
5. $C.$
6. $A.$
7. $A.$
8. $A.$
9. $C.$
10. $B.$

Be the first to comment

Leave a Reply