Tìm giới hạn dãy số bằng định nghĩa

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm giới hạn dãy số bằng định nghĩa, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4: giới hạn.

I. PHƯƠNG PHÁP
+ Để chứng minh $lim {u_n} = 0$ ta chứng minh với mọi số $a >0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại một số ${n_a}$ sao cho $left| {{u_n}} right| < a$, $forall n > {n_a}.$
+ Để chứng minh $lim {u_n} = l$ ta chứng minh $lim left( {{u_n} – l} right) = 0.$
+ Để chứng minh $lim {u_n} = + infty $ ta chứng minh với mọi số $M > 0$ lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên ${n_M}$ sao cho ${u_n} > M$, $forall n > {n_M}.$
+ Để chứng minh $lim {u_n} = – infty $ ta chứng minh $lim left( { – {u_n}} right) = + infty .$
+ Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
1. $lim frac{{n + 2}}{{n + 1}} = 1.$
2. $lim frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} = frac{1}{2}.$
3. $lim frac{{1 – 2n}}{{sqrt {{n^2} + 1} }} = – 2.$

Lời giải:
1. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > frac{1}{a} – 1$, ta có: $left| {frac{{n + 2}}{{n + 1}} – 1} right| = frac{1}{{n + 1}}$ $ < frac{1}{{{n_a} + 1}} < a$ với $forall n > {n_a}.$
Suy ra $lim left| {frac{{n + 2}}{{n + 1}} – 1} right| = 0$ $ Rightarrow lim frac{{n + 2}}{{n + 1}} = 1.$
2. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > sqrt {frac{3}{a} – 1} $, ta có:
$left| {frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} – frac{1}{2}} right| = frac{3}{{{n^2} + 1}}$ $ < frac{3}{{n_a^2 + 1}} < a$ với $forall n > {n_a}.$
Suy ra $lim left| {frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} – frac{1}{2}} right| = 0$ $ Rightarrow lim frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} = frac{1}{2}.$
3. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > sqrt {frac{9}{{{a^2}}} – 1} $, ta có:
$left| {frac{{1 – 2n}}{{sqrt {{n^2} + 1} }} + 2} right|$ $ = left| {frac{{1 – 2n + 2sqrt {{n^2} + 1} }}{{sqrt {{n^2} + 1} }}} right|$ $ < left| {frac{{1 – 2n + 2(n + 1)}}{{sqrt {{n^2} + 1} }}} right|$ $ = frac{3}{{sqrt {{n^2} + 1} }}$ $ < frac{3}{{sqrt {n_a^2 + 1} }} < a$ với $forall n > {n_a}.$
Suy ra $lim left| {frac{{1 – 2n}}{{sqrt {{n^2} + 1} }} + 2} right| = 0$ $ Rightarrow lim frac{{1 – 2n}}{{sqrt {{n^2} + 1} }} = – 2.$

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số $left( {{u_n}} right)$: ${u_n} = {( – 1)^n}$ không có giới hạn.

Lời giải:
Ta có: ${u_{2n}} = 1$ $ Rightarrow lim {u_{2n}} = 1$; ${u_{2n + 1}} = – 1$ $ Rightarrow lim {u_{2n + 1}} = – 1.$
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy $left( {{u_n}} right)$ không có giới hạn.

Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau:
1. $lim frac{{{n^2} + 1}}{n} = + infty .$
2. $lim frac{{2 – n}}{{sqrt n }} = – infty .$

Lời giải:
1. Với mọi số thực dương $M$ lớn tùy ý, ta có:
$left| {frac{{{n^2} + 1}}{n}} right| > M$ $ Leftrightarrow {n^2} – Mn + 1 > 0$ $ Leftrightarrow n > frac{{M + sqrt {{M^2} – 4} }}{2}.$
Ta chọn ${n_0} = left[ {frac{{M + sqrt {{M^2} – 4} }}{2}} right]$ thì ta có: $frac{{{n^2} + 1}}{n} > M$, $forall n > {n_0}.$
Do đó: $lim frac{{{n^2} + 1}}{n} = + infty .$
2. Với mọi $M > 0$ lớn tùy ý, ta có:
$frac{{n – 2}}{{sqrt n }} > M$ $ Leftrightarrow n – Msqrt n – 2 > 0$ $ Leftrightarrow n > {left( {frac{{M + sqrt {{M^2} + 8} }}{2}} right)^2}.$
Ta chọn ${n_0} = left[ {{{left( {frac{{M + sqrt {{M^2} + 8} }}{2}} right)}^2}} right]$ thì ta có: $frac{{n – 2}}{{sqrt n }} > M$, $forall n > {n_0}.$
Do đó: $lim frac{{2 – n}}{{sqrt n }} = – infty .$

III. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Chứng minh rằng:
1. $lim frac{1}{{{n^k}}} = 0$ $left( {k in {N^*}} right).$
2. $lim frac{{1 – {n^2}}}{n} = – infty .$

Lời giải:
1. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn: ${n_a} > sqrt[k]{{frac{1}{a}}}$, ta có: $frac{1}{{{n^k}}} < frac{1}{{n_a^k}} < a$, $forall n > {n_a}$ nên có $lim frac{1}{{{n^k}}} = 0.$
2. Với mọi số dương $M$ lớn tùy ý ta chọn ${n_M}$ thỏa mãn $frac{{n_M^2 – 1}}{{{n_M}}} > M$ $ Leftrightarrow {n_M} > frac{{M + sqrt {{M^2} + 4} }}{2}.$
Ta có: $frac{{{n^2} – 1}}{n} > M$, $forall n > {n_M}$ $ Rightarrow lim frac{{{n^2} – 1}}{n} = + infty .$
Vậy $lim frac{{1 – {n^2}}}{n} = – infty .$

Bài 2. Chứng minh các giới hạn sau:
1. $lim frac{{cos n + sin n}}{{{n^2} + 1}} = 0.$
2. $lim frac{{sqrt {n + 1} }}{{n + 2}} = 0.$
3. $lim frac{{3{n^3} + n}}{{{n^2}}} = + infty .$

Lời giải:
1. Ta có $frac{{|cos n + sin n|}}{{{n^2}}} < frac{2}{{{n^2}}}$ mà $lim frac{1}{{{n^2}}} = 0$ $ Rightarrow lim frac{{cos n + sin n}}{{{n^2} + 1}} = 0.$
2. Với mọi số thực $a>0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} = left[ {frac{1}{{{a^2}}} – 1} right] + 1.$
Ta có: $frac{{sqrt {n + 1} }}{{n + 2}} < frac{1}{{sqrt {n + 1} }} < a$, $forall n > {n_a}$ $ Rightarrow lim frac{{sqrt {n + 1} }}{{n + 2}} = 0.$
3. Với mọi $M > 0$ lớn tùy ý, ta chọn ${n_M} = left[ {frac{M}{3}} right] + 1.$
Ta có: $frac{{3{n^3} + n}}{{{n^2}}} = 3n + frac{1}{n} > M$, $forall n > {n_M}.$ Vậy $lim frac{{3{n^3} + n}}{{{n^2}}} = + infty .$

Bài 3. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
1. $A = lim frac{{2n + 1}}{{n – 2}}.$
2. $B = lim frac{{2n + 3}}{{{n^2} + 1}}.$

Lời giải:
1. Với số thực $a>0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > frac{5}{a} + 2 > 2.$
Ta có: $left| {frac{{2n + 1}}{{n – 2}} – 2} right| = frac{5}{{|n – 2|}}$ $ < frac{5}{{{n_a} – 2}} < a$, $forall n > {n_a}.$
Vậy $A=2.$
2. Với số thực $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a}$ thỏa mãn: $frac{{2{n_a} + 3}}{{n_a^2 + 1}} < a$ $ Leftrightarrow {n_a} > frac{{1 + sqrt {{a^2} – 4a + 13} }}{a}.$
Ta có: $frac{{2n + 3}}{{{n^2} + 1}} < a$, $forall n > {n_a}$ $ Rightarrow B = 0.$

Bài 4. Chứng minh các giới hạn sau:
1. $lim frac{{{a^n}}}{{n!}} = 0.$
2. $lim sqrt[n]{a} = 1$ với $a >0.$

Lời giải:
1. Gọi $m$ là số tự nhiên thỏa mãn: $m + 1 > |a|.$ Khi đó với mọi $n > m + 1.$
Ta có: $0 < left| {frac{{{a^n}}}{{n!}}} right|$ $ = left| {frac{a}{1}.frac{a}{2} ldots frac{a}{m}} right|.left| {frac{a}{{m + 1}} ldots frac{a}{n}} right|$ $ < frac{{|a{|^m}}}{{m!}}.{left( {frac{{|a|}}{{m + 1}}} right)^{n – m}}.$
Mà $lim {left( {frac{{|a|}}{{m + 1}}} right)^{n – m}} = 0.$
Từ đó suy ra: $lim frac{{{a^n}}}{{n!}} = 0.$
2. Nếu $a =1$ thì ta có điều phải chứng minh.
Giả sử $a >1.$ Khi đó: $a = {[1 + (sqrt[n]{a} – 1)]^n} > n(sqrt[n]{a} – 1).$
Suy ra: $0 < sqrt[n]{a} – 1 < frac{a}{n} to 0$ nên $lim sqrt[n]{a} = 1.$
Với $0 < a < 1$ thì $frac{1}{a} > 1$ $ Rightarrow lim sqrt[n]{{frac{1}{a}}} = 1$ $ Rightarrow lim sqrt[n]{a} = 1.$
Tóm lại ta luôn có: $lim sqrt[n]{a} = 1$ với $a > 0.$

Bài 5. Dãy số $left( {{x_n}} right)$ thỏa mãn điều kiện $1 < {x_1} < 2$ và ${x_{n + 1}} = 1 + {x_n} – frac{1}{2}x_n^2$, $forall n in {N^*}.$ Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Tìm $lim {x_n}.$

Lời giải:
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau: $left| {{x_n} – sqrt 2 } right| < frac{1}{{{2^n}}}$, $forall n ge 3.$
Thật vậy ta kiểm tra được ngay bất đẳng thức đúng với $n= 3.$
Giả sử bất đẳng thức đúng với $n ge 3$, tức là $left| {{x_n} – sqrt 2 } right| < frac{1}{{{2^n}}}.$
Khi đó ta có: $left| {{x_{n + 1}} – sqrt 2 } right|$ $ = frac{1}{2}left| {{x_n} – sqrt 2 } right|left| {2 – sqrt 2 – {x_n}} right|$ $ le frac{1}{2}left| {{x_n} – sqrt 2 } right|left( {left| {sqrt 2 – {x_n}} right| + left| {2 – 2sqrt 2 } right|} right).$
$ < frac{1}{2}left| {{x_n} – sqrt 2 } right|$ $ < frac{1}{2}frac{1}{{{2^n}}} = frac{1}{{{2^{n + 1}}}}.$
Do đó bất đẳng thức đúng đến $n+1.$
Mặt khác do $lim frac{1}{{{2^n}}} = 0$ nên từ bất đẳng thức trên và nguyên lý kẹp ta có $lim left( {{x_n} – sqrt 2 } right) = 0$ $ Rightarrow lim {x_n} = sqrt 2 .$
Chú ý: Ta có kết quả sau:
Cho hàm số $f:R to R$ thỏa: $|f(x) – f(y)| le q.|x – y|$ với mọi $x,y in R$ và $q in (0;1).$ Khi đó dãy số $left( {{u_n}} right)$ được xác định bởi ${u_0} = c$; ${u_n} = fleft( {{u_{n – 1}}} right)$, $forall n = 2,3, ldots $ có giới hạn hữu hạn là nghiệm của phương trình $f(x) = x.$
Sử dụng kết quả trên ta có nghiệm của phương trình $f(x) = x$ có nghiệm là $sqrt 2 $ nên ta mới đi chứng minh $lim {x_n} = sqrt 2 .$

Be the first to comment

Leave a Reply