Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số và Giải tích 11.

I. PHƯƠNG PHÁP
Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.
II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa:
1. $A = mathop {lim }limits_{x to 1} left( {3{x^2} + x + 1} right).$
2. $B = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{{x^3} – 1}}{{x – 1}}.$
3. $C = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{sqrt {x + 2} – 2}}{{x – 2}}.$
4. $D = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{3x + 2}}{{x – 1}}.$

Lời giải:
1. Với mọi dãy $left( {{x_n}} right)$ mà $lim {x_n} = 1$ ta có: $A = lim left( {3x_n^2 + {x_n} + 1} right)$ $ = 3 + 1 + 1 = 5.$
2. Với mọi dãy $left( {{x_n}} right)$ mà $lim {x_n} = 1$ và ${x_n} ne 1$, $forall n$ ta có:
$B = lim frac{{left( {{x_n} – 1} right)left( {x_n^2 + {x_n} + 1} right)}}{{{x_n} – 1}}$ $ = lim left( {x_n^2 + {x_n} + 1} right) = 3.$
3. Với mọi dãy $left( {{x_n}} right)$ mà $lim {x_n} = 2$ và ${x_n} ne 2$, $forall n$ ta có:
$B = lim frac{{sqrt {{x_n} + 2} – 2}}{{{x_n} – 2}}$ $ = lim frac{{left( {{x_n} – 2} right)}}{{left( {{x_n} – 2} right)(sqrt {{x_n} + 2} + 2)}}$ $ = lim frac{1}{{sqrt {{x_n} + 2} + 2}}$ $ = frac{1}{4}.$
4. Với mọi dãy $left( {{x_n}} right)$ mà $lim {x_n} = + infty $ ta có:
$D = lim frac{{3{x_n} + 2}}{{{x_n} – 1}}$ $ = lim frac{{3 + frac{2}{{{x_n}}}}}{{1 – frac{1}{{{x_n}}}}} = 3.$

Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số sau không có giới hạn:
1. $f(x) = sin frac{1}{{sqrt x }}$ khi $x to 0.$
2. $f(x) = {cos ^5}2x$ khi $x to – infty .$

Lời giải:
1. Xét hai dãy $left( {{x_n}} right):$ ${x_n} = frac{1}{{{{left( {frac{pi }{2} + n2pi } right)}^2}}}$, $left( {{y_n}} right):$ ${y_n} = frac{1}{{{{(npi )}^2}}}.$
Ta có: $lim {x_n} = lim {y_n} = 0$ và $lim fleft( {{x_n}} right) = 1$; $lim fleft( {{y_n}} right) = 0.$
Nên hàm số không có giới hạn khi $x to 0.$
2. Tương tự ý 1 xét hai dãy: ${x_n} = npi $; ${y_n} = frac{pi }{4} + npi .$

Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} |f(x)| = 0$ thì $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = 0.$

Lời giải:
Với mọi dãy $left( {{x_n}} right):$ $lim {x_n} = {x_0}$ ta có: $lim left| {fleft( {{x_n}} right)} right| = 0$ $ Rightarrow lim fleft( {{x_n}} right) = 0.$
$ Rightarrow mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = 0.$

III. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa:
1. $mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{x + 1}}{{x – 2}}.$
2. $mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{3x + 2}}{{2x – 1}}.$
3. $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {x + 4} – 2}}{{2x}}.$
4. $mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{4x – 3}}{{x – 1}}.$

Lời giải:
1. Với mọi dãy $left( {{x_n}} right):$ $lim {x_n} = 1$ ta có: $lim frac{{{x_n} + 1}}{{{x_n} – 2}} = – 2.$
Vậy $mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{x + 1}}{{x – 2}} = – 2.$
2. Với mọi dãy $left( {{x_n}} right):$ $lim {x_n} = 1$ ta có:
$mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{3x + 2}}{{2x – 1}}$ $ = lim frac{{3{x_n} + 2}}{{2{x_n} – 1}}$ $ = frac{{3.1 + 2}}{{2.1 – 1}} = 5.$
3. Với mọi dãy $left( {{x_n}} right):$ $lim {x_n} = 0$ ta có:
$mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {x + 4} – 2}}{{2x}}$ $ = lim frac{{sqrt {{x_n} + 4} – 2}}{{2{x_n}}}$ $ = lim frac{{{x_n}}}{{2{x_n}(sqrt {{x_n} + 4} + 2)}}$ $ = lim frac{1}{{2(sqrt {{x_n} + 4} + 2)}} = frac{1}{8}.$
4. Với mọi dãy $left( {{x_n}} right):$ ${x_n} > 1$, $forall n$ và $lim {x_n} = 1$ ta có: $mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{4x – 3}}{{x – 1}}$ $ = lim frac{{4{x_n} – 3}}{{{x_n} – 1}} = + infty .$

Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau không có giới hạn:
1. $f(x) = sin frac{1}{x}$ khi $x to 0.$
2. $f(x) = cos x$ khi $x to + infty .$

Lời giải:
1. Xét hai dãy số ${x_n} = frac{1}{{pi + 2npi }}$; ${y_n} = frac{1}{{frac{pi }{2} + 2npi }}$ $ Rightarrow lim {x_n} = lim {y_n} = 0.$
Mà: $lim fleft( {{x_n}} right) = lim [sin (pi + 2npi )] = 0.$
$lim fleft( {{y_n}} right) = lim left[ {sin left( {frac{pi }{2} + 2npi } right)} right] = 1.$
Suy ra $lim fleft( {{x_n}} right) ne lim fleft( {{y_n}} right).$
Vậy hàm số $f$ không có giới hạn khi $x to 0.$
2. Xét hai dãy ${x_n} = 2npi $; ${y_n} = frac{pi }{2} + npi $ $ Rightarrow lim {x_n} = lim {y_n} = + infty .$
Mà: $lim fleft( {{x_n}} right) = lim [cos (2npi )] = 1.$
$lim fleft( {{y_n}} right) = lim left[ {cos left( {frac{pi }{2} + npi } right)} right] = 0.$
Suy ra $lim fleft( {{x_n}} right) ne lim fleft( {{y_n}} right).$
Vậy hàm số $f$ không có giới hạn khi $x to + infty .$

Bài 3. Chứng minh rằng các hàm số sau không có giới hạn:
$f(x) = cos frac{1}{{{x^2}}}$ khi $x to 0.$

Lời giải:
Xét hai dãy $left( {{x_n}} right)$; $left( {{y_n}} right)$ xác định bởi ${x_n} = sqrt {frac{1}{{2npi }}} $; ${y_n} = sqrt {frac{1}{{frac{pi }{2} + npi }}} .$
Ta có: $lim {x_n} = lim {y_n} = 0.$
Nhưng: $lim fleft( {{x_n}} right) = 1$; $lim fleft( {{y_n}} right) = 0$ nên hàm số $f$ không có giới hạn khi $x to 0.$

Be the first to comment

Leave a Reply