Tìm nguyên hàm bằng cách liên kết

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm nguyên hàm bằng cách liên kết, giúp học sinh học tốt chương trình Giải tích 12: Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng.

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Giả sử cần lấy nguyên hàm của hàm số $f(x)$ mà gặp khó khăn. Nếu tìm được một hàm số $g(x)$ sao cho có thể lấy nguyên hàm của các hàm số $f(x) + g(x)$ và $f(x) – g(x)$, thì ta sẽ lấy hai nguyên hàm này và bằng cách giải hệ phương trình sẽ suy ra nguyên hàm của $f(x).$

B. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH
DẠNG 1. LIÊN KẾT CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp:
+ Chọn hàm liên kết thích hợp.
+ Tìm nguyên hàm của tổng và hiệu các hàm liên kết.
+ Giải hệ phương trình để xác định nguyên hàm cần tìm.

2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Cho $I = int {frac{{sin xdx}}{{sin x + cos x}}} $ và $J = int {frac{{cos xdx}}{{sin x + cos x}}} .$ Tính $I + J$ và $I – J.$ Suy ra giá trị của $I$ và $J$?

Lời giải:
$I + J$ $ = int {frac{{sin x + cos x}}{{sin x + cos x}}dx} $ $ = int {1.dx} = x + {C_1}.$
$I – J$ $ = int {frac{{sin x – cos x}}{{cos x + sin x}}dx} $ $ = int {frac{{ – (cos x + sin x)’}}{{cos x + sin x}}dx} $ $ = – ln |cos x + sin x| + {C_2}.$
$ Rightarrow 2I$ $ = x – ln |cos x + sin x|$ $ + {C_1} + {C_2}.$
$2J$ $ = x + ln |cos x + sin x|$ $ + {C_1} – {C_2}.$
Vậy: $I = frac{1}{2}left[ {x – ln |cos x + sin x|} right] + C.$
$J = frac{1}{2}left[ {x + ln |cos x + sin x|} right] + C.$

Ví dụ 2. Tính: $I = int {{{cos }^2}} xcos 2xdx$ và $J = int {{{sin }^2}} xcos 2xdx.$

Lời giải:
Ta có:
$I + J$ $ = int {cos 2xdx} $ $ = frac{1}{2}sin 2x + {C_1}$ $(1).$
$I – J$ $ = int {left( {{{cos }^2}x – {{sin }^2}x} right)} cos 2xdx$ $ = int {{{cos }^2}} 2xdx.$
$I – J$ $ = frac{1}{2}int {(1 + cos 4x)dx} $ $ = frac{1}{2}left( {x + frac{1}{4}sin 4x} right) + {C_2}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{I + J = frac{1}{2}sin 2x + {C_1},,,(1)}\
{I – J = frac{1}{2}left( {x + frac{1}{4}sin 4x} right) + {C_2},,,(2)}
end{array}} right..$
$ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{I = frac{1}{4}left( {x + sin 2x + frac{1}{4}sin 4x} right) + C}\
{J = – frac{1}{4}left( {x – sin 2x + frac{1}{4}sin 4x} right) + C}
end{array}} right..$

Ví dụ 3. Tính $I = int {frac{{{{cos }^2}x}}{{cos 2x}}dx} .$

Lời giải:
Đặt $J = int {frac{{{{sin }^2}x}}{{cos 2x}}dx.} $
Ta có: $I + J$ $ = int {left( {frac{{{{cos }^2}x}}{{cos 2x}} + frac{{{{sin }^2}x}}{{cos 2x}}} right)dx} $ $ = int {frac{1}{{cos 2x}}dx.} $
$ = frac{1}{2}ln left| {tan left( {x + frac{pi }{4}} right)} right| + {C_1}.$
$I – J$ $ = int {frac{{{{cos }^2}x – {{sin }^2}x}}{{cos 2x}}dx} $ $ = int {frac{{cos 2x}}{{cos 2x}}dx} $ $ = int {1dx} $ $ = x + {C_2}.$
Suy ra: $2I$ $ = x + frac{1}{2}ln left| {tan left( {x + frac{pi }{4}} right)} right|$ $ + {C_1} + {C_2}.$
Vậy $I = frac{x}{2} + frac{1}{4}ln left| {tan left( {x + frac{pi }{4}} right)} right| + C.$

DẠNG 2. LIÊN KẾT HÀM MŨ VÀ LÔGARÍT.
1. Phương pháp: Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần kết hợp với phương pháp liên kết.

2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Tính: $I = int {{e^{ax}}.cos bxdx} $ và $J = int {{e^{ax}}.sin bxdx.} $

Lời giải:
Tính $I:$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = {e^{ax}}quad Rightarrow u’ = a.{e^x}}\
{v’ = cos bx Rightarrow v = frac{1}{b}sin bx}
end{array}} right..$
$ Rightarrow I = frac{1}{b}{e^{ax}}.sin bx – frac{a}{b}int {{e^{ax}}sin bxdx} .$
$ = frac{1}{b}{e^{ax}}.sin bx – frac{a}{b}.J$ $(1).$
Tính $J:$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = {e^{ax}}quad Rightarrow u’ = a.{e^{ax}}}\
{v’ = sin bx Rightarrow v = – frac{1}{b}cos bx}
end{array}} right..$
$ Rightarrow J = – frac{1}{b}{e^{ax}}.cos bx + frac{a}{b}int {{e^{ax}}.cos bxdx} .$
$ = – frac{1}{b}{e^{ax}}.cos bx + frac{a}{b}.I$ $(2).$
Thay $(2)$ vào $(1):$ $I = frac{1}{b}{e^{ax}}.sin bx$ $ – frac{a}{b}left( { – frac{1}{b}{e^{ax}}cos bx + frac{a}{b}I} right).$
Vậy $I = frac{{{e^{ax}}(acos bx + bsin bx)}}{{{a^2} + {b^2}}} + C.$
Tương tự thay $(1)$ vào $(2)$ ta được: $J = frac{{{e^{ax}}(asin bx – bcos bx)}}{{{a^2} + {b^2}}} + C.$

Ví dụ 2. Cho $I = int {frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}} $ và $J = int {frac{{{e^{ – x}}dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}} .$ Tính $I + J$ và $I – J.$ Suy ra giá trị của $I$ và $J.$

Lời giải:
Ta có: $I + J$ $ = int {left( {frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}} + frac{{{e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}} right)dx} $ $ = int {1.dx} = x + {C_1}.$
$I – J$ $ = int {left( {frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}} – frac{{{e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}} right)dx} .$
$ = int {frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}dx} $ $ = int {frac{{left( {{e^x} + {e^{ – x}}} right)’}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}dx} .$
$ = ln left( {{e^x} + {e^{ – x}}} right) + {C_2}.$
$ Rightarrow 2I = x + ln left( {{e^x} + {e^{ – x}}} right) + {C_1} + {C_2}.$
$2J = x – ln left( {{e^x} + {e^{ – x}}} right) + {C_1} – {C_2}.$
Vậy:
$I = frac{1}{2}left[ {x + ln left( {{e^x} + {e^{ – x}}} right)} right] + C.$
$J = frac{1}{2}left[ {x – ln left( {{e^x} + {e^{ – x}}} right)} right] + C’.$

Ví dụ 3. Tính: $I = int {cos (ln x)dx} $ và $J = int {sin (ln x)dx} .$

Lời giải:
Để tính $I = int {cos (ln x)dx} $ ta dùng phương pháp tích phân từng phần bằng cách đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = cos (ln x) Rightarrow du = – frac{{sin (ln x)}}{x}dx}\
{dv = dxquad Rightarrow v = x}
end{array}} right..$
Ta có: $I = int {cos (ln x)dx} $ $ = xcos (ln x) + int {sin (ln x)dx} $ $ = xcos (ln x) + J$ $(1).$
Tương tự, bằng cách đặt: $u = sin (ln x)$ và $dv = dx$, ta lại tính được: $J = xsin (ln x) – I$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2):$
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{I = xcos (ln x) + J}\
{J = xsin (ln x) – I}
end{array}} right.$ $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{I = frac{1}{2}xleft[ {cos (ln x) + sin (ln x)} right] + {C_1}}\
{J = frac{1}{2}xleft[ {sin (ln x) – cos (ln x)} right] + {C_2}}
end{array}} right..$

C. BÀI TOÁN TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac{{{{cos }^4}x}}{{{{cos }^4}x + {{sin }^4}x}}.$

Bài 2. Tính $I = int {left( {a{{cos }^2}wt + b{{sin }^2}wt} right)dt.} $

D. ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. Với $g(x) = frac{{{{sin }^4}x}}{{{{cos }^4}x + {{sin }^4}x}}.$ Ta có: $f(x) + g(x) = 1.$
Và $f(x) – g(x)$ $ = frac{{{{cos }^4}x – {{sin }^4}x}}{{{{cos }^4}x + {{sin }^4}x}}$ $ = frac{{cos 2x}}{{1 – frac{1}{2}{{sin }^2}2x}}.$
$ = frac{{2cos 2x}}{{2 – {{sin }^2}2x}}$ $ = frac{{(sin 2x)’}}{{2 – {{sin }^2}2x}}.$
Vậy $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{F(x) + G(x) = x + {C_1}}\
{F(x) – G(x) = frac{1}{{2sqrt 2 }}ln left| {frac{{sqrt 2 + sin 2x}}{{sqrt 2 – sin 2x}}} right| + {C_2}}
end{array}} right..$
$ Rightarrow F(x) = frac{x}{2} + frac{1}{{4sqrt 2 }}ln left| {frac{{sqrt 2 + sin 2x}}{{sqrt 2 – sin 2x}}} right| + C.$

Bài 2. Đặt $J = int {left( {b{{cos }^2}wt + a{{sin }^2}wt} right)dt} .$ Ta có:
$I + J$ $ = int {(a + b)dt} $ $ = (a + b)t + {C_1}$ $(1).$
$I – J$ $ = int {(a – b)} cos 2wtdt$ $ = frac{{a – b}}{{2w}}sin 2wt + {C_2}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ $ Rightarrow I = frac{{a – b}}{{4w}}sin 2wt$ $ + frac{{a + b}}{2}t + C.$
Chú ý: Ta có thể tính trực tiếp $I$ bằng cách biến đổi:
${cos ^2}wt = frac{{1 + cos 2wt}}{2}$ và ${sin ^2}wt = frac{{1 – cos 2wt}}{2}$ rồi thay vào vẫn đạt được kết quả.

Be the first to comment

Leave a Reply

Your email address will not be published.


*