[TM1] – Một cái ao hình ABCDE như hình vẽ, ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính 10m


GIASUTOAN.VN hướng dẫn tìm đáp án và lời giải chi tiết câu hỏi và bài tập [TM1] – Một cái ao hình ABCDE như hình vẽ, ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính 10m trong chương trình Toán 12.

NỘI DUNG CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP:
Một cái ao hình $ABCDE$ (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính $10m.$ Người ta muốn bắc một câu cầu từ bờ $AB$ của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiểu $l$ của cây cầu biết:
+ Hai bờ $AE$ và $BC$ nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $O.$
+ Bờ $AB$ là một phần của một parabol có đỉnh là điểm $A$ và có trục đối xứng là đường thẳng $OA.$
+ Độ dài đoạn $OA$ và $OB$ lần lượt là $40m$ và $20m.$
+ Tâm $I$ của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng $AE$ và $BC$ lần lượt $40m$ và $30m.$

A. $l approx 17,7m.$
B. $l approx 25,7m.$
C. $l approx 27,7m.$
D. $l approx 15,7m.$

LỜI GIẢI CHI TIẾT:
Chọn A.

Gán trục tọa độ $Oxy$ sao cho $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{A in Oy}\
{B in Ox}
end{array}} right.$; cho đơn vị là $10m.$
Khi đó mảnh vườn hình tròn có phương trình $(C):{(x – 4)^2} + {(y – 3)^2} = 1$ có tâm $I(4;3).$
Bờ $AB$ là một phần của Parabol $(P):y = 4 – {x^2}$ ứng với $x in [0;2].$
Vậy bài toán trở thành tìm $MN$ nhỏ nhất với $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{M in (P)}\
{N in (C)}
end{array}} right..$
Đặt trường hợp khi đã xác định được điểm $N$ thì $MN + MI ge IM$. Vậy $MN$ nhỏ nhất khi $MN + MI = IM$ $ Leftrightarrow N$; $M$; $I$ thẳng hàng.
Bây giờ ta sẽ xác định điểm $N$ để $IN$ nhỏ nhất.
$N in (P)$ $ Leftrightarrow Nleft( {x;4 – {x^2}} right)$; $IN = sqrt {{{(4 – x)}^2} + {{left( {1 – {x^2}} right)}^2}} $ $ Leftrightarrow I{N^2} = {(4 – x)^2} + {left( {1 – {x^2}} right)^2}.$
$ Leftrightarrow I{N^2} = {x^4} – {x^2} – 8x + 17.$
Xét $f(x) = {x^4} – {x^2} – 8x + 17$ trên $[0;2]$ $ Leftrightarrow f'(x) = 4{x^3} – 2x – 8.$
$f'(x) = 0$ $ Leftrightarrow x approx 1,3917$ là nghiệm duy nhất và $1,3917 in [0;2].$
Ta có $f(1,3917) = 7,68$; $f(0) = 17$; $f(2) = 13.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $[0;2]$ gần bằng $7,68$ khi $x approx 1,3917.$
Vậy $min IN approx sqrt {7,68} approx 2,77$ $ Leftrightarrow IN = 27,7m$ $ Leftrightarrow MN = IN – IM$ $ = 27,7 – 10 = 17,7m.$

Hướng dẫn DOWNLOAD: XEM HƯỚNG DẪN
Ghi chú: Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho GIASUTOAN.VN, vui lòng gửi về:
+ Fanpage: GIA SƯ TOÁN
+ Email: giasutoan.vn@gmail.com

Be the first to comment

Leave a Reply