Tóm tắt lí thuyết giới hạn dãy số

Bài viết trình bày tóm tắt lí thuyết giới hạn dãy số trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4: giới hạn.

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa
Dãy số $left( {{u_n}} right)$ được gọi là có giới hạn bằng $0$ khi $n$ tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: $lim {u_n} = 0.$ Hay là: $lim {u_n} = 0$ khi và chỉ khi với mọi $varepsilon > 0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên ${n_0}$ sao cho: $left| {{u_n}} right| < varepsilon $, $forall n > {n_0}.$
$lim {u_n} = a$ $ Leftrightarrow lim left( {{u_n} – a} right) = 0$, tức là: Với mọi $varepsilon > 0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên ${n_0}$ sao cho $left| {{u_n} – a} right| < varepsilon $, $forall n > {n_0}.$
Dãy số $left( {{u_n}} right)$ có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
2. Một số giới hạn đặc biệt
$lim frac{1}{{{n^k}}} = 0$ với $k in {N^*}.$
Nếu $|q| < 1$ thì $lim {q^n} = 0.$
Nếu ${u_n} = c$ (với $c$ là hằng số) thì $lim {u_n} = lim c = c.$

II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN
1. Định lí 1: Nếu dãy số $({u_n})$ thỏa mãn $left| {{u_n}} right| < {v_n}$ kể từ số hạng nào đó trở đi và $lim {v_n} = 0$ thì $lim {u_n} = 0.$
2. Định lí 2: Cho $lim {u_n} = a$, $lim {v_n} = b.$ Ta có:
$lim left( {{u_n} + {v_n}} right) = a + b.$
$lim left( {{u_n} – {v_n}} right) = a – b.$
$lim left( {{u_n}.{v_n}} right) = a.b.$
$lim frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = frac{a}{b}$ $(b ne 0).$
Nếu ${u_n} ge 0$ với mọi $n$ thì $lim sqrt {{u_n}} = sqrt a .$

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cho cấp số nhân $left( {{u_n}} right)$ có công bội $q$ thỏa $|q| < 1.$ Khi đó tổng $S = {u_1} + {u_2} + ldots + {u_n} + ldots $ gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và $S = lim {S_n}$ $ = lim frac{{{u_1}left( {1 – {q^n}} right)}}{{1 – q}}$ $ = frac{{{u_1}}}{{1 – q}}.$

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Định nghĩa
$lim {u_n} = + infty $ $ Leftrightarrow $ với mỗi số dương tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
$lim {u_n} = – infty $ $ Leftrightarrow lim left( { – {u_n}} right) = + infty .$
2. Một số kết quả đặc biệt
$lim {n^k} = + infty $ với mọi $k > 0.$
$lim {q^n} = + infty $ với mọi $q > 1.$
3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc 1: Nếu $lim {u_n} = pm infty $, $lim {v_n} = pm infty $ thì $lim left( {{u_n}{v_n}} right)$ được cho như sau:

Quy tắc 2: Nếu $lim {u_n} = pm infty $ và $lim {v_n} = L ne 0$ thì $lim left( {{u_n}{v_n}} right)$ được cho như sau:

Quy tắc 3: Nếu $lim {u_n} = L ne 0$, $lim {v_n} = 0$ và ${v_n} > 0$ hoặc ${v_n} < 0$ kể từ một số hạng nào đó trở đi thì $lim frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$ được cho như sau: