Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm điều kiện tham số liên quan đến bài toán tương giao của hàm phân thức hữu tỉ trong chương trình Giải tích 12: ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Cho hàm số có dạng: $y = frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ (điều kiện $ad – bc ne 0$).
Đường thẳng $d:y = mx + n.$
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
$frac{{ax + b}}{{cx + d}} = mx + n$ (điều kiện $x ne – frac{d}{c}$).
$ Leftrightarrow ax + b = (cx + d)(mx + n)$ $ Leftrightarrow g(x) = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0$ $(1).$
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt $ Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $ – frac{d}{c}$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{a_1} ne 0;Delta > 0}\
{gleft( { – frac{d}{c}} right) > 0}
end{array}} right..$
Nhận xét:
+ Nếu $A$, $B$ là giao điểm của của hai đồ thị thì $Aleft( {{x_1};m{x_1} + n} right)$ và $Bleft( {{x_2};m{x_2} + n} right)$ với ${x_1}$, ${x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $(1).$
+ Nếu hai giao điểm $A$, $B$ thuộc hai nhánh của đồ thị thì ta có ${x_A} < – frac{d}{c} < {x_B}.$
+ Nếu hai giao điểm $A$, $B$ cùng thuộc một nhánh của đồ thị hàm số thì ta có ${x_A}$, ${x_B} > – frac{d}{c}$ hoặc ${x_A}$, ${x_B} < – frac{d}{c}.$
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số $m$ để đường thẳng $y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = frac{{x – 2}}{{x – 1}}$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho:
a) Hai điểm $A$, $B$ thuộc về cùng một nhánh của đồ thị hàm số.
b) Độ dài đoạn thẳng $AB = 2sqrt 3 .$
c) Diện tích tam giác $OAB$ bằng $4sqrt 3 $ với $O$ là gốc tọa độ.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $frac{{x – 2}}{{x – 1}} = x + m$ (điều kiện $x ne 1$).
$ Leftrightarrow x – 2 = (x + m)(x – 1)$ $ Leftrightarrow {x^2} + (m – 2)x + 2 – m = 0.$
$ Leftrightarrow {x^2} + (m – 2)x + 2 – m = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta = {{(m – 2)}^2} – 4(2 – m) > 0}\
{{1^2} + m – 2 + 2 – m ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta = {m^2} – 4 > 0}\
{1 ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m > 2}\
{m < – 2}
end{array}} right..$
Gọi ${x_1}$, ${x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $(1).$
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $left{begin{array}{l}
{x_{1}+x_{2}=2-m} \
{x_{1} x_{2}=2-m}
end{array}right.$
a) Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị hàm số $ Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1} > 1$, ${x_2} > 1$ hoặc ${x_1} < 1$, ${x_2} < 1$ $ Leftrightarrow left( {{x_1} – 1} right)left( {{x_2} – 1} right) > 0$ $ Leftrightarrow {x_1}{x_2} – left( {{x_1} + {x_2}} right) + 1 > 0.$
$ Leftrightarrow (2 – m) – (2 – m) + 1 > 0$ $ Leftrightarrow 1 > 0$ (luôn đúng).
Vậy với $left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m > 2}\
{m < – 2}
end{array}} right.$ thì đường thẳng $d$ luôn cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị hàm số.
b) Ta có $Aleft( {{x_1};{x_1} + m} right)$ và $Bleft( {{x_2};{x_2} + m} right)$ do đó $AB = sqrt {{{left( {{x_2} – {x_1}} right)}^2} + {{left( {{x_2} – {x_1}} right)}^2}} .$
$ Leftrightarrow A{B^2} = 2{left( {{x_2} – {x_1}} right)^2}.$
$ Leftrightarrow A{B^2} = 2{left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} – 8{x_2}{x_1}$ $ = 2{(2 – m)^2} – 8(2 – m)$ $ = 2{m^2} – 8.$
Theo giả thiết, ta có $AB = 2sqrt 3 $ $ Leftrightarrow A{B^2} = 12$ $ Leftrightarrow 12 = 2{m^2} – 8$ $ Leftrightarrow m = pm 2sqrt 5 .$
c) Ta có ${S_{OAB}} = frac{1}{2}d(O;AB).AB$ với $AB:y = x + m$ $ Leftrightarrow x – y + m = 0.$
$ Rightarrow d(O;AB) = frac{{|m|}}{{sqrt 2 }}.$
Khi đó ta có $4sqrt 3 = frac{1}{2}.frac{{|m|}}{{sqrt 2 }}.sqrt {2{m^2} – 8} $ $ Leftrightarrow 8sqrt 3 = |m|.sqrt {{m^2} – 4} .$
$ Leftrightarrow {m^4} – 4{m^2} – 192 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} = 16}\
{{m^2} = – 12::{rm{(loại)}}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow m = pm 4.$
Ví dụ 2. Cho hàm số $y = frac{{x + 3}}{{x + 1}}$ $(C).$ Đường thẳng $d:y=2x+m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho:
a) Trọng tâm của tam giác $OAB$ thuộc đường thẳng ${d_1}:y = – x + frac{1}{3}$ với $O$ là gốc tọa độ.
b) Độ dài đoạn thẳng $AB$ nhỏ nhất.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
$frac{{x + 3}}{{x + 1}} = 2x + m$ (điều kiện $x ne – 1$) $ Leftrightarrow x + 3 = (x + 1)(2x + m).$
$ Leftrightarrow 2{x^2} + (m + 1)x + m – 3 = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta = {{(m + 1)}^2} – 4.2.(m – 3) > 0}\
{2{{( – 1)}^2} + (m + 1)( – 1) + m – 3 ne 0}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta = {m^2} – 6m + 25 > 0}\
{ – 2 ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow {(m – 3)^2} + 16 > 0$ (luôn đúng).
Gọi ${x_1}$, ${x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $(1).$
Áp dụng định lí Vi-et, ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = frac{{ – (m + 1)}}{2}}\
{{x_1}{x_2} = frac{{m – 3}}{2}}
end{array}} right..$
a) Giả sử $Aleft( {{x_1};2{x_1} + m} right)$ và $Bleft( {{x_2};2{x_2} + m} right)$ do đó trọng tâm $G$ của tam giác $OAB$ là $Gleft( {frac{{{x_1} + {x_2} + 0}}{3};frac{{2left( {{x_1} + {x_2}} right) + 2m}}{3}} right)$ $ Leftrightarrow Gleft( {frac{{ – (m + 1)}}{6};frac{{m – 1}}{3}} right).$
Theo bài ra ta có $G in {d_1}:y = – x + frac{1}{3}.$
$ Rightarrow frac{{m – 1}}{3} = frac{{m + 1}}{6} + frac{1}{3}$ $ Leftrightarrow 2m – 2 = m + 1 + 2$ $ Leftrightarrow m = 5.$
b) Ta có $A{B^2} = {left( {{x_2} – {x_1}} right)^2} + {left( {2{x_2} + m – 2{x_1} – m} right)^2}.$
$ = 5{left( {{x_2} – {x_1}} right)^2}$ $ = 5{left( {{x_2} + {x_1}} right)^2} – 20{x_2}{x_1}$ $ = 5.frac{{{{(m + 1)}^2}}}{4} – 20.frac{{m – 3}}{2}.$
$ = frac{5}{4}.left[ {{m^2} – 6m + 25} right]$ $ = frac{5}{4}left[ {{{(m – 3)}^2} + 16} right]$ $ ge frac{5}{4}.16 = 20.$
Do đó $A{B_{min }} = 2sqrt 5 $ khi $m = 3.$
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=-x+m$ cắt đồ thị hàm số $y = frac{{x + 2}}{{x – 1}}$ tại hai điểm phân biệt?
A. $( – infty ;2 – 2sqrt 3 ) cup (2 + 2sqrt 3 ; + infty ).$
B. $(2 – 2sqrt 3 ;2 + 2sqrt 3 ).$
C. $( – infty ;2 – 2sqrt 3 ].$
D. $( – 2sqrt 3 ;2sqrt 3 ).$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm: $frac{{x + 2}}{{x – 1}} = – x + m$ (điều kiện $x ne 1$).
$ Leftrightarrow x + 2 = – {x^2} + (m + 1)x – m$ $ Leftrightarrow {x^2} – mx + m + 2 = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta = {m^2} – 4(m + 2) > 0}\
{{1^2} – m.1 + m ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow {m^2} – 4m – 8 > 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m > 2 + 2sqrt 3 }\
{m < 2 – 2sqrt 3 }
end{array}} right..$
Chọn đáp án A.
Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = – 2x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = frac{{2x – 1}}{{x – 2}}$ tại hai điểm phân biệt thuộc về cùng một nhánh của đồ thị.
A. $left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m > 6 + 2sqrt 6 }\
{m < 6 – 2sqrt 6 }
end{array}} right..$
B. $left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m > 6 + 2sqrt 3 }\
{m < 6 – 2sqrt 3 }
end{array}} right..$
C. $left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m > 6}\
{m < 6}
end{array}} right..$
D. $ – 6 < m < 6.$
Phương trình hoành độ giao điểm: $frac{{2x – 1}}{{x – 2}} = – 2x + m$ (điều kiện $x ne 2$).
$ Leftrightarrow 2x – 1 = – 2{x^2} + (m + 4)x – 2m.$
$ Leftrightarrow 2{x^2} – (m + 2)x + 2m – 1 = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm $ Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $2.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta = {{(m + 2)}^2} – 4.2(2m – 1) > 0}\
{{{2.2}^2} – (m + 2)2 + 2m – 1 ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta = {m^2} – 12m + 12 > 0}\
{3 ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m > 6 + 2sqrt 6 }\
{m < 6 – 2sqrt 6 }
end{array}} right..$
Áp dụng định lí Vi-et, ta có $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = frac{{m + 2}}{2}}\
{{x_1}{x_2} = frac{{2m – 1}}{2}}
end{array}} right..$
Để hai giao điểm thuộc về cùng một nhánh của đồ thị:
$ Leftrightarrow left( {{x_1} – 2} right)left( {{x_2} – 2} right) > 0$ $ Leftrightarrow {x_1}{x_2} – 2left( {{x_1} + {x_2}} right) + 4 > 0$ $ Leftrightarrow frac{{2m – 1}}{2} – 2.frac{{m + 2}}{2} + 4 > 0.$
$ Leftrightarrow frac{3}{2} > 0$ (luôn đúng).
Chọn đáp án A.
Bài 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m in [ – 10;10]$ để đồ thị hàm số $y = frac{{2x}}{{x – 1}}$ cắt $d: y=-x+ m$ tại hai điểm phân biệt.
A. $15.$
B. $16.$
C. $20.$
D. $21.$
Phương trình hoành độ giao điểm:
$frac{{2x}}{{x – 1}} = – x + m$ $ Leftrightarrow 2x = – {x^2} + (m + 1)x – m$ $ Leftrightarrow {x^2} + (1 – m)x + m = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta = {{(1 – m)}^2} – 4m > 0}\
{{1^2} + 1 – m + m ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} – 6m + 1 > 0}\
{2 ne 0}
end{array}} right..$
Mà $m in Z$, $m in [ – 10;10]$ nên $m in { – 10; – 9; ldots ;0;6;7;8;9;10} .$
Chọn đáp án B.
Bài 4. Tính tổng các giá trị nguyên của tham số $m in ( – 6;10)$ biết đường thẳng $d:y=-x+m$ cắt đồ thị hàm số $y = frac{{x – 3}}{{x + 1}}$ tại hai điểm phân biệt.
A. $30.$
B. $40.$
C. $34.$
D. $21.$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
$frac{{x – 3}}{{x + 1}} = – x + m$ (điều kiện $x ne – 1$) $ Leftrightarrow x – 3 = – {x^2} + (m – 1)x + m.$
$ Leftrightarrow {x^2} + (2 – m)x – m – 3 = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt $ Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta = {{(2 – m)}^2} – 4( – m – 3) > 0}\
{{{( – 1)}^2} – 2 + m – m – 3 ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} + 16 > 0}\
{ – 4 ne 0}
end{array}} right.$ (luôn đúng).
Theo bài ra ta có $m in ( – 6;10)$ $ Rightarrow m in { – 5; – 4; – 3; ldots ;0;1; ldots ;9} .$
Do đó tổng các giá trị cần tìm của $m$ là $S = ( – 5) + ( – 4) + ldots + 0 + 1 + ldots + 9 = 30.$
Chọn đáp án A.
Bài 5. Tính tổng bình phương các giá trị của tham số $m$ sao cho đường thẳng $d:y=-x- m$ cắt đồ thị hàm số $y = frac{{x – 2}}{{x – 1}}$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ sao cho $MN = sqrt {26} .$
A. $26.$
B. $25.$
C. $17.$
D. $10.$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:
${frac{{x – 2}}{{x – 1}} = – x – m}$ (điều kiện ${x ne 1}$) $ Leftrightarrow x – 2 = – {x^2} + (1 – m)x + m.$
$ Leftrightarrow {x^2} + mx – m – 2 = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $1.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta = {m^2} + 4(m + 2) > 0}\
{1 + m – m – 2 ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{(m + 2)}^2} + 4 > 0}\
{ – 1 ne 0}
end{array}} right.$ (luôn đúng).
Áp dụng định lí Vi-et, ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = – m}\
{{x_1}{x_2} = – m – 2}
end{array}} right..$
Khi đó gọi $Mleft( {{x_1}; – {x_1} – m} right)$, $Nleft( {{x_2}; – {x_2} – m} right)$ $ Rightarrow M{N^2} = {left( {{x_2} – {x_1}} right)^2} + {left( { – {x_2} + {x_1}} right)^2}.$
$ = 2{left( {{x_2} – {x_1}} right)^2}$ $ = 2left[ {{{left( {{x_2} + {x_1}} right)}^2} – 4{x_2}{x_1}} right]$ $ = 2left( {{m^2} + 4m + 8} right).$
Theo bài ra ta có $2left( {{m^2} + 4m + 8} right) = 26$ $ Leftrightarrow {m^2} + 4m – 5 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1}\
{m = – 5}
end{array}} right..$
Do đó tổng cần tìm là $S = {1^2} + {( – 5)^2} = 26.$
Chọn đáp án A.
Bài 6. Cho hàm số $y = frac{{x + 1}}{{x – 1}}$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $Mleft( {frac{5}{2};4} right)$ có hệ số góc $m.$ Tìm giá trị của $m$ để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho $M$ là trung điểm $AB.$
A. $m=-3.$
B. $m=-2.$
C. $m = 2.$
D. $m=1.$
Phương trình đường thẳng $d:y = mleft( {x – frac{5}{2}} right) + 4.$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm: $frac{{x + 1}}{{x – 1}} = mleft( {x – frac{5}{2}} right) + 4.$
$ Leftrightarrow 2x + 2$ $ = 2m{x^2} – (7m – 8)x + 5m – 8$ $ Leftrightarrow 2m{x^2} – (7m – 6)x + 5m – 10 = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $1.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{m ne 0}\
{Delta = {{(7m – 6)}^2} – 4.2m.(5m – 10) > 0}\
{2m – (7m – 6) + 5m – 10 ne 0}
end{array}} right..$
Áp dụng định lí Vi-et, ta có: ${x_1} + {x_2} = frac{{7m – 6}}{{2m}}.$
Khi đó $Aleft( {{x_1};{y_1}} right)$, $Bleft( {{x_2};{y_2}} right).$
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên:
${x_1} + {x_2} = 2{x_M} = 5$ $ Leftrightarrow frac{{7m – 6}}{{2m}} = 5$ $ Leftrightarrow m = – 2$ (thỏa mãn).
Chọn đáp án B.
Bài 7. Cho hàm số $y = frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.$ Tìm $m$ để đường thẳng $d: y=-2x+ m$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm $M$, $N$ sao cho ${S_{OMN}} = frac{{3sqrt {17} }}{4}$ với $O$ là gốc tọa độ.
A. ${ pm 1}$.
B. ${ pm frac{1}{2}}$.
C. ${ pm 3}$.
D. ${ pm 2}$.
Phương trình hoành độ giao điểm:
$frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = – 2x + m$ (điều kiện $x ne – 1$) $ Leftrightarrow 2x + 3$ $ = – 2{x^2} + (m – 2)x + m.$
$ Leftrightarrow 2{x^2} – (m – 4)x + 1 – m = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $-1.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta = {{(m – 4)}^2} – 4.2.(1 – m) > 0}\
{2.{{( – 1)}^2} – (m – 4)( – 1) + 1 – m ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} + 8 > 0}\
{ – 1 ne 0}
end{array}} right.$ (luôn đúng).
Áp dụng định lí Vi-et, ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = frac{{m – 4}}{2}}\
{{x_1}{x_2} = frac{{1 – m}}{2}}
end{array}} right..$
Gọi $Mleft( {{x_1}; – 2{x_1} + m} right)$, $Nleft( {{x_2}; – 2{x_2} + m} right).$
Khi đó $M{N^2} = {left( {{x_2} – {x_1}} right)^2} + {left( { – 2{x_2} + 2{x_1}} right)^2}$ $ = 5{left( {{x_2} – {x_1}} right)^2}$ $ = 5{left( {{x_2} + {x_1}} right)^2} – 20{x_1}{x_2}.$
$ = 5{left( {frac{{m – 4}}{2}} right)^2} – 20.frac{{1 – m}}{2}$ $ = frac{5}{4}left[ {{m^2} + 8} right].$
Ta có $d(O;MN)$ $ = d(O;d)$ $ = frac{{|m|}}{{sqrt 5 }}$ $ Rightarrow {S_{OMN}} = frac{1}{2}.frac{{|m|}}{{sqrt 5 }}.frac{{sqrt 5 }}{2}.sqrt {{m^2} + 8} .$
$ Leftrightarrow 4.frac{{3sqrt {17} }}{4} = |m|.sqrt {{m^2} + 8} $ $ Leftrightarrow {m^4} + 8{m^2} – 153 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} = 9}\
{{m^2} = – 17::{rm{(loại)}}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow m = pm 3.$
Chọn đáp án C.
Bài 8. Cho hàm số $y = frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y = mx + 2 – m.$ Tìm giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho tam giác $ABC$ cân tại $C(2;-1).$
A. $m = frac{4}{3}.$
B. $m = – frac{5}{3}.$
C. $m = – frac{2}{3}.$
D. $m = frac{1}{3}.$
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị là:
$frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = mx + 2 – m$ (điều kiện $x ne 1$) $ Leftrightarrow m{x^2} – 2mx + m – 3 = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $1.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{m ne 0}\
{Delta ‘ = {m^2} – m(m – 3) > 0}\
{m – 2m + m – 3 ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow m > 0.$
Áp dụng định lí Vi-et, ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = 2}\
{{x_1}{x_2} = frac{{m – 3}}{m}}
end{array}} right..$
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ thì ${x_I} = frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 1$ mà $I in AB$ $ Rightarrow I in d$ $ Rightarrow I(1;2).$
Ta có đường thẳng $IC$ có hệ số góc là ${k_{IC}} = frac{{{y_C} – {y_I}}}{{{x_C} – {x_I}}} = – 3.$
Theo giả thiết $Delta ABC$ cân tại $C$ nên $IC bot AB.$
$ Leftrightarrow {k_{IC}}.{k_d} = – 1$ $ Leftrightarrow m.( – 3) = – 1$ $ Leftrightarrow m = frac{1}{3}.$
Chọn đáp án D.
Bài 9. Cho hàm số $y = frac{{2x – 4}}{{x + 1}}.$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho đường thẳng $y=-x+ m$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $B$, $C$ sao cho tứ giác $OABC$ là hình bình hành với $A(-5;5)$ và $O$ là gốc tọa độ.
A. $m=2.$
B. $left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m = 0}\
{m = 2}
end{array}} right..$
C. $left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1}\
{m = 3}
end{array}} right..$
D. $m=-2.$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
$frac{{2x – 4}}{{x + 1}} = – x + m$ (điều kiện $x ne – 1$) $ Leftrightarrow {x^2} + (3 – m)x – 4 – m = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $-1.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta = {{(3 – m)}^2} – 4( – 4 – m) > 0}\
{{{( – 1)}^2} + (3 – m)( – 1) – 4 – m ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} – 2m + 25 > 0}\
{ – 6 ne 0}
end{array}} right.$ (luôn đúng).
Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = m – 3}\
{{x_1}{x_2} = – 4 – m}
end{array}} right..$
Giả sử $Bleft( {{x_1}; – {x_1} + m} right)$, $Cleft( {{x_2}; – {x_2} + m} right)$ thì:
$B{C^2} = 2{left( {{x_2} – {x_1}} right)^2}$ $ = 2{left( {{x_2} + {x_1}} right)^2} – 8{x_1}{x_2}$ $ = 2{m^2} – 4m + 50.$
Ta có đường thẳng $OA:y = – x$ và $OA = sqrt {50} $ mà $CB:y = – x + m.$
Do đó theo yêu cầu bài toán ta có $OA // CB$ và $OA = CB.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{m ne 0}\
{2{m^2} – 4m + 50 = 50}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m ne 0\
left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m = 0}\
{m = 2}
end{array}} right.
end{array} right.$ $ Leftrightarrow m = 2.$
Chọn đáp án A.
Bài 10. Cho hàm số $y = frac{x}{{1 – x}}$ có đồ thị $(C)$ và điểm thỏa mãn $A(-1;1).$ Tìm $m$ để đường thẳng $d: y = mx – m–1$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ sao cho $A{M^2} + A{N^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. $m=-2.$
B. $m=-1.$
C. $m=1.$
D. $m= -3.$
Phương trình hoành độ giao điểm là:
${frac{x}{{1 – x}} = mx – m – 1}$ (điều kiện ${x ne 1}$) $ Leftrightarrow m{x^2} – 2mx + m + 1 = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{m ne 0}\
{Delta = {m^2} – m(m + 1) > 0}\
{m – 2m + m + 1 ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow m < 0.$
Giả sử ${x_M}$, ${x_N}$ là nghiệm của $(1)$, theo định lý Vi-et, ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_M} + {x_N} = 2}\
{{x_M}{x_N} = frac{{m + 1}}{m}}
end{array}} right..$
Gọi $I$ là trung điểm của $MN$ suy ra $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_I} = frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = 1}\
{{y_I} = m{x_I} – m – 1 = – 1}
end{array}} right..$
Ta có $A{M^2} + A{N^2} = 2A{I^2} + frac{{M{N^2}}}{2}$ nên $A{M^2} + A{N^2}$ nhỏ nhất khi $M{N^2}$ nhỏ nhất.
$M{N^2}$ $ = {left( {{x_M} – {x_N}} right)^2}$ $ + {left( {left( {m{x_M} – m – 1} right) – left( {m{x_N} – m – 1} right)} right)^2}$ $ = left( {{m^2} + 1} right){left( {{x_M} – {x_N}} right)^2}.$
$ = left( {{m^2} + 1} right)left( {{{left( {{x_M} + {x_N}} right)}^2} – 4{x_M}{x_N}} right)$ $ = left( {{m^2} + 1} right)left( {4 – 4frac{{m + 1}}{m}} right)$ $ = 4left( { – m + frac{1}{{ – m}}} right) ge 8.$
Dấu bằng xảy ra khi $ – m = frac{1}{{ – m}}$ và $m <0$ suy ra $m=-1.$
Chọn đáp án B.
IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = frac{{2x – 3}}{{x – 1}}$ tại hai điểm phân biệt.
A. $( – infty ; – 1) cup (3; + infty ).$
B. $(4; + infty ).$
C. (-1 ;+infty)
D. $forall m.$
Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = 2x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = frac{{x – 1}}{{x – 2}}$ tại hai điểm phân biệt.
A. $( – infty ;1) cup (3; + infty ).$
B. $forall m.$
C. $(1;3).$
D. $[0; + infty ).$
Bài 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m in [ – 12;12]$ để đường thẳng $d:y = 2mx + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = frac{{x – 3}}{{x – 1}}$ tại hai điểm phân biệt thuộc về cùng một nhánh của đồ thị hàm số.
A. $22.$
B. $8.$
C. $7.$
D. $25.$
Bài 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = mx + 2$ cắt đồ thị hàm số $y = frac{{2x – 1}}{{x – 2}}$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ sao cho $I(1;3)$ là trung điểm $MN.$
A. $m=-4.$
B. $m=1.$
C. $m=2.$
D. $m=-1.$
Bài 5. Tính tổng bình phương các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = 2x – m$ cắt đồ thị hàm số $y = frac{{3x – 1}}{{x + 2}}$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho $AB = sqrt {10} .$
A. $226.$
B. $25.$
C. $149.$
D. $65.$
Bài 6. Tính tổng tất cả các giá trị thực của $m$ để đường thẳng $y = x + m – 1$ cắt đồ thị hàm số $y = frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho $AB = 2sqrt 3 .$
A. $8.$
B. $6.$
C. $4.$
D. $10.$
Bài 7. Cho hàm số $y = frac{{x + 3}}{{x + 1}}$ có đồ thị $(C).$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho đường thẳng $d: y=x-m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ thỏa mãn điểm $G(2;-2)$ là trọng tâm của tam giác $OAB.$
A. $m = 4.$
B. $m=-3.$
C. $m=6.$
D. $m=7.$
Bài 8. Cho hàm số $y = frac{{x + 3}}{{x + 1}}$ $(C).$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d: y = 2x + m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ sao cho $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. $m= -2.$
B. $m= 3.$
C. $m=4.$
D. $m=-1.$
Bài 9. Cho hàm số $y = frac{{x + 3}}{{x + 2}}$ có đồ thị $(C).$ Biết có hai giá trị tham số $m$ để đường thẳng $d: y=2x+ m$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ và cắt tiệm cận đứng của $(C)$ tại điểm $M$ sao cho $M{A^2} + M{B^2} = 25$ là ${m_1}$, ${m_2}.$ Tính tổng $S = m_1^2 + m_2^2.$
A. $S =61.$
B. $S = 146.$
C. $S=37.$
D. $S = 269.$
Bài 10. Có bao nhiêu số nguyên $m$ sao cho đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y = frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ và $MN le 6$?
A. $10.$
B. $11.$
C. $4.$
D. $3.$
V. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. A.
2. B.
3. C.
4. B.
5. A.
6. A.
7. C.
8. B.
9. B.
10. C.